代数学（多項式）の問いです。

質問

交代式＊対称式＝交代式、
交代式＊交代式＝対称式、
任意の式＝対称式＋交代式
を証明して下さい。

回答No.1

f272 · ベストアンサー

2変数の場合で示す。
(1)
f(x,y)が対称式ならf(x.y)=f(y,x)
g(x,y)が交代式ならg(x.y)=-g(y,x)
このときf(x.y)*g(x,y)=-f(y,x)*g(y,x)となってf(x.y)*g(x,y)は交代式です。
(2)
f(x,y)が交代式ならf(x.y)=-f(y,x)
g(x,y)が交代式ならg(x.y)=-g(y,x)
このときf(x.y)*g(x,y)=f(y,x)*g(y,x)となってf(x.y)*g(x,y)は対称式です。
(3)
任意のf(x,y)に対して
g(x,y)=(f(x.y)+f(y,x))/2
h(x,y)=(f(x.y)-f(y,x))/2
とすれば
g(x,y)=(f(x.y)+f(y,x))/2=(f(y.x)+f(x,y))/2=g(y,x)となってg(x,y)は対称式です。
h(x,y)=(f(x.y)-f(y,x))/2=-(f(y.x)-f(x,y))/2=-h(y,x)となってg(x,y)は対称式です。
そしてf(x,y)=g(x,y)+h(x,y)となるので題意は示された。

お礼

有難う御座いました。

補足

誠に恐れ入りますが、一般・多変数版を御証明頂けますでしょうか。２変数のは分かりましたので。