- 締切済み
高1の数学 交代式と対称式
- みんなの回答 (7)
- 専門家の回答
みんなの回答
- kabaokaba
- ベストアンサー率51% (724/1416)
#まだ締め切られてなかったんですね ><交代式>が冷遇される理由は、<対称式>の応用範囲の広さに反し<交代式>は 交代式は「差積」と対称式の積になる,それだけの理由でしょう そして「差積」は行列式の定義で立派に生きてます. ><#1だけで十分のはずですが、上手く説明できません、下手すると逆効果になるので、不本意ながら3回やります。> 私がP(a,b)のように「二文字」だけにしたのは 問題が「a,bについての交代式」とあったのと 三文字以上の交代式では定義が煩雑だからです. つまり「#1」だけでは不十分です. 一般に n 文字の多項式P(a1,a2,...an)が交代式であるとは 次のように定義されます. 以下でSnはn次の置換群です. Snの任意の元sに対して, P(as(1),as(2),...as(n))=sgn(s)P(a1,a2,...,an) ここで,as(i)はa1,...,anのうちで添え字がs(i)であるもの, sgn(s)はsの符号です. #・・って。。この時点でさらに説明しなければいけない #言葉が山盛り・・・3文字に限定してもやっかい つまり,P(a,b,c)が交代式であるとは 3文字の入れ換え「すべて」に対してチェックが必要です. たとえば。。。 P(a,b,c)=(a-b)c^2 はaとbに対しては「交代」ですが, a,b,cに対しては交代ではありません.
- kkkk2222
- ベストアンサー率42% (187/437)
ーーーー こんにちは、 <交代式> 実に久しぶりに出会いました。教科書には通常記載されないようです。<第一学習社>に記載がある事を知って、聊か驚いています。参考書も、記載はされていても少量のようです。当方が貴殿と同じ年代の頃は、教科書には記載はなくとも参考書には明確に記載がありました。 <交代式>が冷遇される理由は、<対称式>の応用範囲の広さに反し<交代式>は、<因数分解>ぐらいにしか出現せず、また<因数分解>ですら<交代式の概念>が<絶対的に必要>では無いからです。 Q=(a^n)(b-c)+(b^n)(c-a)+(c^n)(a-b)として n=3、4、5 などを計算して、喜んでいたのを思い出します。 因数分解では、(a-b)が因数ならば(b-c)も(c-a)も因数となり、Qの正負は適切に調整すれば良い。その程度の認識で充分でした。しかし、某有名高校では<交代式>を駆使した授業が展開されている事を知り、これまた驚きました。 ーーー さて<交代式>の定義ですが、<A、B、C、・・・のどの二つを入れ替えても元の式と正負飲みが異なる時、これを交代式と呼ぶ>です。 http://www.suriken.com/knowledge/glossary/alternative-expression.html 実際上は文字はA、B、Cの3個の場合にしか出会った事がありません。 ご質問の P=a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)においては #1 a、b の交換 #2 b、c の交換 #3 c a の交換を実行して、結果がーPとなれば完了となります。 <#1だけで十分のはずですが、上手く説明できません、下手すると逆効果になるので、不本意ながら3回やります。> #1 P’=(b^2)(a-c)+(a^2)(c-b)+(c^2)(b-a) =ー(b^2)(c-a)ー(a^2)(b-c)ー(c^2)(a-b) =ー(a^2)(b-c)ー(b^2)(c-a)ー(c^2)(a-b)=-PでOK ゴメン#2、#3もやるつもりでしたが余り意味がないので止めます。 ーーー <対称式>については文字A、Bの二つの時、とA、B、Cの時に限定して書きます。 定義自身はN個の文字に関する整式Pにおいて、どの二つを交換してもPとなる、のはずです。定義は明白なので余り意識したことがありません。 <全ての対称式は基本対称式で表せる>の方が重要です。基本対称式のみ記して締めます。 文字A、Bの時の基本対称式は A+B、AB のふたつです。 文字A、B、Cの基本対称式は A+B+C、AB+BC+CA、ABCのみっつとなります。 wwwこれは A+B+C、BC+CA+AC、ABC と記した方が美しいです。応用は自然に身につきます。 あっと 対称式であることを示すには R=b【(a-c)^2】+a【(c-b)^2】+c【(b-a)^2】 とでも置いて #1 a、bの交換 #2 b、c の交換 #3 c、aの交換を実行して #1 a、b の交換は R’=a【(c-b)^2】+b【(a-c)^2】+c【(b-a)^2】 =b【(a-c)^2】+a【(c-b)^2】+c【(b-a)^2】=R これは、さすがに此れで充分とは思いますが、大した手間も掛からないので、もう2回実行すれば無難ですが、 便利な言葉<同様に #2 b、cの交換#3 c、aの交換も成立>でOKかと・・・ SEE YOU ーーー
lmmさん、kabaokabaさんへ 本当に申し訳ありません。久しぶりに数学をやったもので(←言い訳)。 ただ、kabaokabaさんの書き込みを読んでやっと理解できました。その上で、 あえて言えば、NO3の、 「元の式の符号を変えた式になります。これを交代式というのではないでしょうか?」 は、kabaokabaさんのNO4「aとbについての多項式P(a,b)が交代式であるとはP(a,b)=-P(b,a)」と同じことを言いたかったわけです(舌足らずですが)。 つまり、「a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)…(A)」が交代式であるとは、式(A)のaとbを入れ替えた式を式(B)とした場合に、(B)=-(A)(あるいは(A)=-(B))になることを言うのでは?ということです。この点は間違っていないと思います。すなわち、 a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)…(A) 上の(A)でaとbを入れ替えると、 b^2(a-c)+a^2(c-b)+c^2(b-a)…(B) になります。これを式変形していくと、 (B) =b^2(a-c)+a^2(c-b)+c^2(b-a) =a^2(c-b)+b^2(a-c)+c^2(b-a) ←項の順番を入れ替えただけ =-a^2(b-c)-b^2(c-a)-c^2(a-b) ←(*) =-[a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)〕 =-(A) よって、(A)はaとbの交代式である、ということです。 お詫びの印に、(*)の最初の項について少し丁寧に説明すると、 a^2(c-b)=a^2(-b+c)=a^2[-(b-c)]=a^2(-1)(b-c)=(-1)a^2(b-c)=-a^2(b-c) ということです。 ★おそらくlmmさんは中学を卒業したばかりで高校の宿題を解いているのでは?教科書を読んでも、あまり明確にはわからないような気がします。(*)は基本的な式変形ですが、中学卒業の段階では慣れていなくても無理はない気がします。P(a,b,c)と言った数学記号も未習ではないでしょうか。また、3文字以上の式の因数分解も習っていないと思います。 その上、私がよく理解もせずNO2の回答をしたので、lmmさんを混乱させているままではないか、と思って書きました(←言い訳かもしれない)。 もし、混乱するようでしたら、無視してください。もうこれ以上は回答を控えます。 最後にもう一度、理解もせず回答して申し訳ありませんでした。反省しています。
- kabaokaba
- ベストアンサー率51% (724/1416)
交代式・対称式であることを示せ という問題が教科書にあるのであれば かならず教科書にその定義があります. それに従えばいいだけの話なんです. そもそも 「aとbを入れ替えて、この式がa,bについての交代式であることを示せ」 とあるので,その通りに計算すればよいだけのことです. やってみましたか? ちなみに定義は以下のような感じ. aとbについての多項式P(a,b)が対称式であるとは P(a,b,c)=P(b,a) であることをいう.つまり,「文字を交換しても同じ式になる」こと. 一番基本的な例は,a+b,ab(これらを基本対称式という). 性質は,任意の対称式は基本対称式の多項式で表せること. aとbについての多項式P(a,b)が交代式であるとは P(a,b)=-P(b,a) であることをいう.つまり, 「文字を交換すると符号が反対になる」こと. 一番基本的な例は,a-b 性質は,任意の交代式は,a-bと対称式の積で表せること. 注意しなければいけないのは この問題が「a,bについての」とあること. cについては一切考慮しなくていいのです. No.2さんは大分混乱しているようで・・・ a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b) (=P(a,b)とおく) が,a,bについての交代式であることを示したければ P(b,a) = b^2(a-c) + a^2(c-b) + c^2(b-a) = - b^2(c-a) - a^2(b-c) - c^2 (a-b) = - ( a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b) ) = -P(a,b) とするだけです. もっともこの式は簡単に因数分解できるので 因数分解してから示すのもありです. a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b) = (a-b)(c-a)(c-b) こうすると,a,bについて交代式なのは明らかです. #「因数分解するな」とは書いてないので, #因数分解してから「入れ替え」ても #「入れ替え」たことには変わりません.
NO2です。すいません。交代式について理解していませんでした。NO2は対象式についての説明です。 交代式については、よくわかりません。すいませんでした。 ただ、「a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)」の式を、aとbを入れ替えてみると、 b^2(a-c)+a^2(c-b)+c^2(b-a) ⇒a^2(c-b)+b^2(a-c)+c^2(b-a) ⇒-a^2(b-c)-b^2(c-a)-c^2(a-b) ⇒-[a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)〕 のように、元の式の符号を変えた式になります。これを交代式というのではないでしょうか? とのかく、混乱させてすいませんでした。
たとえば、 2a+2b=5…(A) の方程式を考えて見ます。この式の答えは無限にありますが、たとえば「a=2、b=1/2」などがあります。あるいは、「a=3、b=-1/2」でもOKですね。 ところが、いま2組の解を挙げましたが、これらのaとbを入れ替えて、 「a=1/2、b=2 」「a=-1/2、b=3」としても、問題なく(A)の解になります。なぜか?それは、(A)の左辺の式を見ればわかります。つまりaもbも係数が同じ「2」です。そして、交換法則により、「2a」と「2b」を入れ替えても同じだからです。 2a+2b=2b+2a これが、「3a+2b」ならこうは行きません。「3a+2b=7」の解のひとつに「a=1、b=2」がありますが、「a=2、b=1」は解にはなりません。 (A)の方程式の左辺のような式を対称式、あるいはaとbの交代式と言います。証明の仕方は、元の式を展開したものと、aとbを入れ替えたものを展開して、両者が同じなら証明終わりです。
- kabaokaba
- ベストアンサー率51% (724/1416)
教科書を読む それで解決. ============== >高1の数学Iの教科書の どこの出版社?同一の出版社でも複数の 「高校数学I」の教科書を出すことだってある.
補足
教科書は 第一学習社 高等学校数学I 183 第一 数I034 です。
関連するQ&A
- 数学・・・対象式と交代式って??
高1です。数学で対象式と交代式ってありますよね? 一応自分で調べてはみたのですが、 対称式: a,b,c,⋯ の多項式において, a,b,c,⋯ のどの2つを入れ替えても,もとの式と同じになるものを a,b,c,⋯ の対称式といいます。 【具体例】 a,b の対象式 ・ a 2 −ab+ b 2 ・ ( ab ) 2 −a−b a,b,c の対称式 ・ a 2 + b 2 + c 2 ・ a 2 bc+ b 2 ca+ c 2 ab などのものしか得られず、数学の苦手な僕にはあまり分かりませんでした。出来ればわかりやすく解説などもつけてもらえると助かります。お願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 交代式と対称式って?
(a+b)(b+c)(c+a) どの二つの文字を入れ替えても、元の式と同じになる式を対称式という (a-b)(b-c)(c-a) どの2つの文字を入れ替えても元の式と符号だけ変わる式を交代式という。 この二つの文字を入れ替えるとは、具体的に どういうことですか?? どうぞよろしくお願いします!
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学I 「対称性を崩さない式変形」とは?
数学I 「対称性を崩さない式変形」とは? いつもお世話になっております。 数学Iの対称式の分野で「対称性をできるだけ崩さずに式変形すると・・・」 という表現があり、式変形は確かに示されているのですが、そもそもこの 「対称性をできるだけ崩さずに式変形する」とはどのようにすることを意味するので しょうか。 a(1/b+1/c)+b(1/c+1/a)+c(1/a+1/b) ← 元の式 =(b+c)/a+(c+a)/b+(a+b)/c ← 対称性を壊さない式変形 単に展開してまとめているようなのですが、何か基準があるのでしょうか。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 対称式、交代式の因数
対称式・・・ a.b.cの対称式は, a + b b + c c + a の うちの1つが因数ならば、他 の2つも因数である。 交代式・・・a. bの交代式は、因数a-bをもち, a. b. cの交代式は、因数 a - b b - c c - a を もつ。 という説明がプリントにあったのですが、なぜそういえるのかわかりません。また、(x+y+z)^3-(x^3+y^3+z^3)の因数分解の解説で、x、y、zの対称式である。たとえば式全体を(x+y)や(y+z)でくくることを意識する。とあったのですが、意味がわかりません
- 締切済み
- 数学・算数
- 同次交代式、反対称?
http://www.okweb.ne.jp/kotaeru.php3?q=596464 #3の回答者の解説で、わからないところがありました。 >a、b、cを3辺の長さとする三角形がある。 >a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)=0 >が成り立つとき、この三角形はどんな三角形か。 ----------------------------------------------------------------------- >左辺を f(a,b,c)とおくと, >f(a,b,c)は任意の2文字の交換に対して反対称で, >[∵f(b,a,c)=-f(a,b,c)など] >a,b,cの3文字に関する4次の同次交代式です. >するとf(a,b,c)は差積(a-b)(b-c)(c-a)で割り切れて,これは3次なので,あと1次の >a,b,cの対称式との積になるので,それは k(a+b+c) (kは0でない定数) >f(a,b,c)=k(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c) (kは0でない定数) >と書けます.これを与式と係数比較して,例えばaについてa^3の項の係数を見れば >k=-1と決まり,結局 >f(a,b,c)=-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c) >(要するに因数分解すれば,途中は不要.) ・ ・ ----------------------------------------------------------------- (a-b)、(b-c)、(c-a)を因数に持つことはわかります。 >1次のa,b,cの対称式との積になるので,それは k(a+b+c) (kは0でない定数) 「1次のa,b,cの対称式との積」となるのはどうしてでしょうか? 「k(a+b+c) (kは0でない定数)」とどうしてこのようにおけるのでしょうか? 同次交代式、反対称とはどういうものをいうのでしょうか。(検索してもわからず) 大学受験レベルまででお願いします
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 対称式や交代式を因数分解に応用するときの考え方
お世話になっております。タイトルの通りです。対称式、交代式の定義と性質(四則などの)は理解しているのですが、因数分解に応用するとなると、さっぱり使い方が分かりません。以下の例題について御解説いただけないでしょうか。 問 a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b) を因数分解せよ。 恐らく与式が(a-b)(b-c)(c-a)を因数に持つことになるのでしょうが、どう利用して良いのか分かりません。ヒントだけでも良いのでご回答願います。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 因数分解の対称式について
チャート式の例題ですが、 a(b+c)ⅱ+b(c+a)ⅱ+c(a+b)ⅱ-4abc 2乗はローマ数字にしてます。 この式を因数分解せよ、とのことですが解答を見ても意味不明で隣のページの対称式とは?というのをみても全然わかりません。 どなたかわかりやすく説明してください。お願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
お礼
いえいえ あらかじめ私が新高校一年生であることを書いておくべきでした、すみませんでした。あまり気にしないでください。