中学数学の図形の問題です

質問

教えてください
図のようにAB=6　AC=3　∠ACB＝90°の直角三角形ABCがあり、∠BACの二等分線と辺BCとの交点をDとする。また∠BCG=90°の直角三角形BCGがある。円Oは辺BC、CG、BGとそれぞれ点D、E、Fで接している。
(1)円の半径はいくつか
(2)FGの長さはいくつか
(3)△BFCの面積はいくつか
よろしくお願いします

回答No.3

deshabari-haijo

(1)
直角三角形ABCにおいて、BC=3×√3=3√3、∠ABC=30°、∠BAC=60°
直角三角形DACにおいて、∠DAC=60°/2=30°
よって、直角三角形ABCと直角三角形DACは相似であるから、
CD=AC×AC/BC=3×3/3√3=√3（半径）

(2)
BD=BF=BC-CD=3√(3)-√3=2√3
直角三角形BCGの面積をSとすると、
2S
=CG×BC
=(CE+EG)×BC
=(FG+√3)×3√3
=3√(3)FG+9－(a)
また、
2S
=(△OBCの面積+△OBGの面積+△OCGの面積)×2
=(BC+BG+CG)×√3
=(BC+BF+FG+CE+EG)×√3
=(2FG+6√3) ×√3
=2√(3)FG+18－(b)
(a)=(b)であるから、
3√(3)FG+9=2√(3)FG+18
√(3)FG=9
FG=9/√3=3√3

(3)
△BFCにおいて、底辺をBFとしたときの高さhは、
直角三角形BCGの面積の2倍から、
BG×h=CG×BCの関係が成り立つので、
(BF+FG)×h=(CE+EG)×BC
{2√(3)+ 3√3}×h={√(3)+ 3√3}×3√3
5√(3)×h=36
h=36/5√3=12√(3)/5
よって、△BFCの面積は、
BF×h×1/2=2√(3)×12√(3)/5×1/2=36/5