中学数学の図形の問題です

質問

教えてください
図のようにAB=6　AC=3　∠ACB＝90°の直角三角形ABCがあり、∠BACの二等分線と辺BCとの交点をDとする。また∠BCG=90°の直角三角形BCGがある。円Oは辺BC、CG、BGとそれぞれ点D、E、Fで接している。
(1)円の半径はいくつか
(2)FGの長さはいくつか
(3)△BFCの面積はいくつか
よろしくお願いします

回答No.1

muturajcp

(1)
|AB|=6
|AC|=3
∠ACB＝90°
だから
cos∠BAC=|AC|/|AB|=3/6=1/2
だから
∠BAC=π/3=60°
ADは∠BACの二等分線だから
∠BAD=∠CAD=π/3/2=π/6=30°
|CD|=|AC|tan∠CAD=3tan(π/6)=3tan(30°)=3/√3=√3
∴円の半径は
√3

(2)
|BC|=|AB|sin∠BAC=6sin(π/3)=6sin(60°)=6(√3)/2=3√3
|BF|=|BD|=|BC|-|CD|=3√3-√3=2√3
|DO|=|CD|=√3
tan∠DBO=|DO|/|BD|=(√3)/(2√3)=1/2

cos∠CBG
=cos(2∠DBO)
=2(cos∠DBO)^2-1
=[2/{1+(tan∠DBO)^2}]-1
=[2/{1+(1/2)^2}]-1
={2/(1+1/4)}-1
=8/5-1
=3/5

|BG|
=|BC|/cos∠CBG
=(3√3)/(3/5)
=5√3

|FG|=|BG|-|BF|
|FG|=5√3-2√3
∴
|FG|=3√3

(3)
sin∠CBF
=√{1-(cos∠CBG)^2}
=√{1-(3/5)^2}
=4/5

|△BFC|=(1/2)|BC||BF|sin∠CBF
|△BFC|=(1/2)(3√3)(2√3)(4/5)
∴△BFCの面積は
|△BFC|=36/5