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(続)これってコーシーの積分公式の矛盾!?
jcpmuturaの回答
- jcpmutura
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タイトル コーシーの積分公式の矛盾 と書いてあります コーシーの積分公式は 複素積分の定義から直接導かれるものなのです。 そして公式や定理などではなく直接 複素積分の定義から ∫{|z|=1}(1/z)dz=2πi≠0 である事を示したはずです それでも μ(J)=0とジョルダン閉曲線のμ測度は0なのに, ∫_Jfμ≠0となってしまう(零集合のμ積分なのに≠0となってしまう)。 が矛盾だといっているのは 複素積分の矛盾だといっている事になります dzは差分(微分)であって測度ではないので ∫{|z|=1}dz=0 ∫{|z|=1}(1/z)dz=2πi≠0 に矛盾はありません そのμ測度なるものは 複素積分のdzをμ測度dμに言い換えて 複素積分の定義をそのままμ測度の定義にしただけの事であって dzをdμに言い換える何のメリットもありません むしろdzをdμに言い換えることによって μ(J)=0→∫_Jfμ=0 が実際には成り立たないのに 成り立つものだという誤解させるデメリットの方が大きいのです それから 複素ルベーグ測度として 複素数a,bの間の長方形の面積 μ[a,b]=|Re(a)-Re(b)||Im(a)-Im(b)| という測度が別にあるので、それと混同するデメリットの方が大きいのです 複素積分をルベーグ積分で表す事は困難ですが、 ∫_{|z|=1}(1/z)dz=2πi=i∫_{|z|≦1}dμ が成り立ちます 左辺は|z|=1の線上の積分であるのに対して 右辺は|z|≦1の面上の積分となります 実数積分でも a≦b,f(x)≧0の時 ∫_{a→b}f(x)dx=∫_{(x,y)|a≦x≦b,0≦y≦f(x)}dμ 左辺は[a,b]の線上の積分であるのに対して 右辺は{(x,y)|a≦x≦b,0≦y≦f(x)}の面上の積分となります
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補足
ご回答大変有難うございます。 > タイトル > コーシーの積分公式の矛盾 > と書いてあります 失礼しました。タイトルを測度0のμ積分∫_Jdμ≠0の矛盾と訂正させてください。 コーシーの(複素リーマン)積分の公式は複素リーマン積分の定義を使って証明されます。 > μ(J)=0とジョルダン閉曲線のμ測度は0なのに, > ∫_Jfμ≠0となってしまう(零集合のμ積分なのに≠0となってしまう)。 > が矛盾だといっているのは > 複素積分の矛盾だといっている事になります 矛盾ではないと思います。 非負値測度では必ず∫_Jdμ=0となるのに,複素数値測度では喩えμ測度0でも∫_Jdμ≠0になりえる場合があると考えます。 No.6の補足コメントで確かにμは前測度μ_0から複素測度の定義を満たすことは確認しました。 ジョルダン曲線J:(a,b]→Cに関して,μ測度はμ(J|_{(x,y]}):=J(y)-J(x)∈Cとなり, そして,a≦x≦y≦bにおいて,f_Re^±(z):=max{±f_Re(z),0},f_Im^±(z):=max{±f_Im(z),0}と置き, α:=inf f_Re^±((x,y])と置くと αI_{J|_{(x,y]}}は \nearrow f_Re^±なるσ[\mathfrak{J}]可測単関数になる事は容易に分かります (但し,Iはindicator関数)。 そして, ∫_Jfμ:=∫_Jf_Re^+μ-∫_Jf_Re^-μ+i(∫_Jf_Im^+μ-∫_Jf_Im^-μ)と書けます。 ,,,なのでやはり複素数値測度では∫_Jdμ=0とは必ずしも成り立たないと考えます。 いかがでしょうか?