(続)これってコーシーの積分公式の矛盾!?

質問

https://okwave.jp/qa/q9571473.html
の続きです。
文字数が多くなってしまいましたので下記のアップしましたのでご覧いただけましたら幸いでございます。
https://kyokoyoshikawa.web.fc2.com/newdir/question/q9571473.txt

回答No.6

jcpmutura

いいえ測度の定義域はCの部分集合族でなければなりません
それはもはや測度ではありません

複素積分の定義は別にあり
複素積分で
dz
と定義されているものを
わざわざ不確かな(無矛盾が証明されていない)
偽測度
dμ
に置き換えて再定義する必要はありません
それで矛盾がおきればそれはコーシー積分公式の矛盾ではなく
偽測度に矛盾があるのです

補足

ご回答誠に有難うございます。

> いいえ測度の定義域はCの部分集合族でなければなりません

出鱈目を言わないでください。どこの本にそんな事書いてあるんですか?

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B8%AC%E5%BA%A6%E8%AB%96

測度の定義域は集合Xの完全加法族を定義域すると思うんですけど。。

恐らく,ルベーグ測度に固執されてのだと推測します。

前補足コメントでルベーグ測度ではなくμ測度だと既に言及しました。

>偽測度

偽ではありません。ちゃんと測度に拡張できる事が証明できますよ。

[補題ア] Jをdom(J)=(a,b] (a<b,a,b∈R)をジョルダン曲線とせよ。\mathfrak{J}:=∪_{c,d∈R,a≦c≦d≦b}{J;J':(c,d]→C, J'=J|_{(c,d]}}⊂2^Jとする。
この時,\mathfrak{J}は半加法族をなす。
(証明)
(i) φ∈\mathfrak{J}は明らか,c=dの時。
(ii) J',J''∈ \mathfrak{J} ⇒ J'∩J''∈\mathfrak{J}
もJ'∩J''=φなら(i),J'∩J''≠φなら, 明らかに∃a≦ ∃inf dom(J'∩J'') ≦ ∃inf dom(J'∩J'') ≦ b なので
J'∩J''∈∈\mathfrak{J}が言える。
(iii) J'∈∈\mathfrak{J} ⇒ ∃k∈N;{J_m}_{m=1}^k⊂\mathfrak{J} 且つ J＼J'=∪'_{m=1}^k J_mについては (ここで∪'は素集合の和集合を表す記号),
J＼J'=J|_{(a, inf dom(J')}∪'J|_{sup dom(J')}と書き表せるのでk=2と採れる。 (終)

[命題イ] 補題アにて,μ_0:\mathfrak{J}→Cを\mathfrak{J}∋∀J'→μ_0(J'):=J'(d)-lim_{t→c+0}J'(t)と定義すると,μ_0は有限加法性と|μ_0(∪'_{m=1}^∞J_m)|≦∑_{m=1}^∞{μ_0(J_m)| (但し,J_m∈\mathfrak{J})が成り立つ。
(証明)
(i) 有限加法性については
a,b∈R,a<bに対して(a,b],∃a_1,…a_k,b_1,…,b_k∈R;a=a_1<b_1=a_2<b_1=…<b_{k-1}=a_k<b_k=b 且つ (a,b]=∪'_{m=1}^k(a_m,b_m],
そしてJ_m∈\mathfrak{J}をdom(J_m)=(a_m,b_m]とします。この時,
J:=∪'_{m=1}^k J_mに対して,
μ_0(∪'_{m=1}^k J_m)
=μ_0(J)=J(b)-lim_{t→inf(dom(J)+0}J(t)
=(J(b)-lim_{t→inf(dom(J_1)+0}J(t))+(J(b_2)-lim_{t→inf(dom(J_2)+0}J(t))+…++(J(b_k)-lim_{t→inf(dom(J_k)+0}J(t))
(∵キャンセルアウトされてJ(b)-lim_{t→inf(dom(J)+0}J(t)のみが残る)
=∑_{m=1}^k μ_0(J_m) (∵μ_0の定義)。
(ii)について,
a,b∈R,a<bに対して(a,b],∃a_1,…,b_1,…,∈R;a<…=a_2<b_2=a_1<b_1=b 且つ (a,b]=∪'_{m=1}^∞(a_m,b_m] (注:(a,b]の上極限は終点bも含むのでこの形を仮定した)とすると,
|μ_0(∪'_{m=1}^∞ J_m)|
=|lim_{k→∞}μ_0(∪'_{m=1}^k J_m)|
=|lim_{k→∞}∑_{m=1}^k μ_0(J_m)| (∵(i))
=|∑_{m=1}^∞ μ_0(J_m)|
≦∑_{m=1}^∞ |μ_0(J_m)|。

これは1次元リーマン外測度のジョルダン曲線版とでも言いましょうか (既に呼び名がついてればお教えください)?

従って,

[拡張定理] 命題イにて, \mathfrak{J}が半加法族なら(\mathfrak{J},μ_0)が測度に拡張される必要十分条件は
(i) (\mathfrak{J},μ_0)は非負有限加法的,
(ii) |μ_0(∪'_{m=1}^∞J_m)|≦∑_{m=1}^∞{μ_0(J_m)}|。

を使ってμ_0を測度に拡張できると事がわかると思います。

このμ測度を使えば,複素リーマン複素積分は前記事でご紹介頂いた`向き付け関数`なるものを持ち出さずに意外にシンプルに表せる思います。

いかがでしょうか?

尚, 間違い・勘違いがありましたらご指摘頂けましたら大変幸いです。

> dμ
> に置き換えて再定義する必要はありません

それで複素リーマン積分とμ積分との関係性の見通しがよくなる事は意義があることだと思うのですが。。

> それで矛盾がおきればそれはコーシー積分公式の矛盾ではなく
> 偽測度に矛盾があるのです

その理由も簡単で当初の私の質問では私はルベーグ測度で考えた事が原因だと思います。

1次元複素ルベーグ測度は2次元実ルベーグ測度と同一視できますよね。

私は複素リーマン積分に1次元複素ルベーグ測度を採用したのでジョルダン曲線Jは零集合は明らかなので

https://okwave.jp/qa/q9571473.html
での私が述べた積分で1/(2πi)∫_J f(z)/(z-c)dz≡0となるのは明らかで愚問でした。

実際には,複素リーマン積分には上述のμ積分の測度μを採用すべきでしたこれならコーシーの積分公式と辻褄が合うのでした。。。

いかがでしょうか?