連分数展開

質問

有理数や無理数の連分数展開のやり方が分からないのですが、どうしたらできるのでしょうか？
逆に√2の連分数から√2を求める事には成功しています。
x+1=2+(1/x+1)をときました。
同じ感じで逆に計算していけば連分数が求まると思ったのですが、なかなかそうもいきませんでした。

回答No.5

kony0 · ベストアンサー

A[i]の整数部分をB[i], 小数部分をC[i]としたときに、A[i+1]=1/C[i]とすればOKと考えます。

A[1]=B[1]+1/A[2]
=B[1]+1/(B[2]+1/A[3])
=B[1]+1/(B[2]+1/(B[3]+1/…))

もちろん、C[i]=0になれば、そこで連分数展開は終了。また、A[m]=A[n]の場合は、連分数展開が循環することになります。

√3の連分数展開を考えると、
A[1]=√3, B[1]=1, C[1]=√3-1
A[2]=(√3+1)/2, B[2]=1, C[2]=(√3-1)/2
A[3]=√3+1, B[3]=2, C[3]=√3-1
A[4]=A[2]は明らか。これらから
B[i]は1,1,2,1,2,1,2,...という数列をなす。

したがって、√3="1" + 1/("1" + 1/("2" + 1/("1" + 1/("2" + 1/...))))
となります。