tan(x)の連分数

質問

ある本の中で、正接関数 tan(x)=x/(1-x/(3-x/(5...))))のように連分数で表されていました。なぜこのように表されるのか教えてください。

回答No.3

grothendieck

下の回答で

tan(x)=x + x^3/3 + 2x/15 +...

は

tan(x)=x + (1/3)x^3 + (2/15)x^5 +...

訂正します。

お礼

ありがとうございます

回答No.2

grothendieck

tan(x)=x/(1-x^2/(3-x^2/(5...))))

ではないでしょうか。

tan(x)=x + x^3/3 + 2x/15 +...

のようなベキ級数を連分数に直す方法は、例えば

W. Gloeckle;The Quantum Mechanical Few-body problem (Sprnger), p.78

お礼

すみません。書き間違えています。この連分数展開についてはシュプリンガーから出ている解析教程（ハイラー、ワナー）に詳細な説明を見つけました。ご指摘ありがとうございます。

回答No.1

kishiura

xが０の近傍で、f(x)がｎ回微分可能な任意の関数であるとき、
f(x)=f(0)+f'(0)x/1!+f''(0)x^2/2!+…+f(n回微分）(0)x^n/n!+… で表すことが出来ます。これを有限マクローリン展開といいます。
これを用いて、
sinx,cosxをxのｎ次式で表し、tanx=sinx/cosx とすれば連分数になります。

お礼

ありがとうございました。確認してみます。

補足

ハイラーとワナーの解析教程に詳細な説明がありました。マクローリン展開から少し技巧的な方法ですが連分数化しています。お手数をおかけしました。