ある大学の数学の過去問です

質問

ある大学の数学の過去問です
わかる人
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回答No.2

nihonsumire

いつも解答を全て回答するか悩みます。以下の回答で不明な点があれば、教科書的等で復習する必要がありそうです。
1.与えられた座標を代入し、a,b,cに関する3元連立方程式を解けばいいのです。
　例えば、(-1,1)→x=-1,y=1を代入→1=a×(-1)^2+b×(-1)+c
2.１で求めた式を、y=(チェックボックス 空欄)(x+〇)^2+△という完全平方形に変形すれば、頂点の座標が求まります。
3.直線y=x+kが接する時のk、xの範囲を考えてx=-2,x=2をそれぞれ通る時のkの値を１と直線のグラフを描いけば、kの範囲が求まります。

回答No.1

jcpmutura

2次関数
y=ax^2+bx+c…(0)
について
(1)2次関数のグラフが
(-1,1),(2,1),(3,-7)を通るから
1=a-b+c…(1)
1=4a+2b+c…(2)
-7=9a+3b+c…(3)
(2)から(1)を引くと
0=3a+3b
↓両辺を3で割ると
0=a+b…(4)
(3)から(2)を引くと
-8=5a+b
↓これから(4)を引くと
-8=4a
↓両辺を4で割ると
-2=a…(5)
↓これを(4)に代入すると
0=b-2
↓両辺に2を加えると
2=b…(6)
↓これと(5)を(1)に代入すると
1=-2-2+c
↓両辺に4を加えると
5=c
これと(5),(6)から
a=-2
b=2
c=5
↓これらを(0)に代入すると
y=-2x^2+2x+5
(2)
y=-2(x^2-x)+5
y=-2(x-1/2)^2+(1/2)+5
y=-2(x-1/2)^2+11/2
だから
頂点の座標は
(1/2,11/2)
(3)
2次関数y=-2x^2+2x+5が-2≦x≦2の範囲で直線
y=x+k
と2点で交わるとき
交点を(x,y)とすると
x+k=-2x^2+2x+5
↓両辺に2x^2-2x-5を加えると
2x^2-x+k-5=0
f(x)=2x^2-x+k-5
とすると
f(x)=2(x-1/4)^2+(8k-41)/8
f(1/4)=(8k-41)/8<0
だから
k<41/8
f(-2)=8+2+k-5=k+5≧0
f(2)=8-2+k-5=k+1≧0
だから
k≧-1
だから
∴
-1≦k<41/8