中３代数の問題です

質問

中３ 代数の授業で出てきた問題です。

↓

次の等式を満たす実数xの値を求めなさい。

1＋xi／2＋i が実数になる。

答えは、x＝1／2 なのですが、
解き方がわかりません。

ぜひ教えてください！

回答No.2

deshabari-haijo · ベストアンサー

与式の分母と分子に2-iをかけると、
(1+xi)(2-i)/{(2+i)(2-i)}
={(2+x)+(2x-1)i}/(4-i^2)
={(2+x)+(2x-1)i}/5
これが実数になるためには、分子のiの係数が0
よって、2x-1=0であるから、x=1/2

お礼

早々の回答をありがとうございました！
とてもよく理解できました！
また機会がありましたら、ぜひよろしくお願いいたします！

回答No.3

deshabari-haijo

ANo.2の別解です。
この方が簡単でした。

与式を次のように変形します。
(1+xi)/(2+i)
=1/2×(1+xi)/(1+i/2)
ここで、(1+xi)/(1+i/2)における分母と分子の実部は等しく1であるから、与式が実数になるためには虚部（iの係数）も等しく、x=1/2になります。
なお、このとき、(1+xi)/(1+i/2)=(1+i/2)/(1+i/2)=1であるから、与式=1/2になることは一目瞭然です。

回答No.1

f272

(1＋xi)/(2＋i)が実数になる
⇔分子分母の偏角が等しい
⇔分子分母の偏角のtangentが等しい
⇔x/1=1/2
⇔x=1/2
ここで必要な知識は，複素数x+yiの偏角のtangentはy/xであることと，(複素数の商の偏角)は(分子の偏角)-(分母の偏角)になるということ，それから実数の偏角は0であることです。

お礼

深夜にもかかわらず、早々の回答をありがとうございました！
とても助かりました！
また機会がありましたら、ぜひよろしくお願いいたします！