ある工場で二つの商品I,IIの生産計画を立てることに

質問

ある工場で二つの商品I,IIの生産計画を立てることになった。それぞれの商品を一単位生産するのに商品Iを生産するのに原料Aが8kg、原料Bが3kgを必要とする。また、商品IIを生産するのに原料Aが6kg、原料Bが5kg必要とする。使用できる原料の限度は原料Aが132kg、原料Bが66kgまでであるとする。商品一単位あたりの利潤は、Iが5万円、IIが7万円であったとする。このとき、商品I、IIをどれだけ生産することにしたら、最大の利潤を上げることができるか、考える。
(1)商品I、IIの生産量をx、yで表し線形計画問題として定式化せよ。
(2)最大利潤と商品I、IIの生産量を求めよ。

どなたか解ける方いらっしゃれば
よろしくお願いします。

回答No.1

jcpmutura

(1)
原料Aは
8x+6y≦132…(1.1)
原料Bは
3x+5y≦66…(1.2)
0≦x…(1.3)
0≦y…(1.4)
の範囲で
利潤
k=5x+7y…(1.5)
の最大値を求めればよい

(2)
8x+6y=132…(2.1)
の傾きは-4/3
3x+5y=66…(2.2)
の傾きは-3/5
直線(1.5)の傾きは-5/7
だから
-4/3=-140/105<-5/7=-75/105<-63/105=-3/5
だから
(2.1)と(2.2)の交点がkが最大となる点となるから
(2.1)の両辺に3をかけると
24x+18y=396…(2.3)
(2.2)の両辺に8をかけると
24x+40y=528
↓これから(2.3)を引くと
22y=132
↓両辺を22で割ると
y=6
↓これを(2.2)に代入すると
3x+30=66
↓両辺から30を引くと
3x=36
↓両辺を3で割ると
x=12
(2.1)と(2.2)の交点は
(x,y)=(12,6)
で利益は
k=5x+7y=5*12+7*6=60+42=102
だから
最大利潤は
102
商品Iの生産量は
12
商品IIの生産量は
6