最大の利潤を得るための生産量と利益計算
- 工場で製品Aと製品Bを生産するための電力と作業員の使用上限があります。
- 製品AとBの生産量を決める不等式を作り、解析的に範囲を求めます。
- 最大の利益を得るためには、計算上の範囲内で利益を最大化する生産量を求めます。
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解き方を教えていただきたいです。
何卒宜しくお願い致します。 ある工場では、製品A、製品Bを生産するのに電力と作業員を必要とする。各製品1単位を生産する為には、表１に示す量が必要である。電力、作業員の1カ月の使用上限は表１に示す通りとする。製品1単位の利潤は、Aが50万円、Bが30万円とする。この時、1カ月で最大の利潤を得る為には、A、Bを何単位生産すればよいか。 表１：製品1個生産に必要な量 電力（Kw/時） 作業員（人） 製品A 40 30 製品B 30 15 使用上限 4200 3000 （１）Aの生産量をｘ単位、Bの生産量をｙ単位とし、電力と作業員の使用上限より、2本の不等式を作りなさい。 （２） （１）の不等式を満たす範囲をグラフで示しなさい。ただし、ｘ≧0、ｙ≧0とする。 （３） 1カ月の利潤をPとすると、利潤はP＝50ｘ+30ｙで表せる。 この工場は（２）の範囲内で、この直線の切片P/30が最大になる点で最大の利潤を得る。この時のｘとｙを求めなさい。またこの時の利潤Pはいくらになるか。
- konkan
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(1) 40x +30y ≦ 4200 30x + 15y ≦ 3000 または 4x + 3y ≦ 420 2x + y ≦ 200 (2)略 (3) x=90, y=20, P=5100 ですかね。 暗算です。間違ってたらすいません。
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- info222_
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(1) x≧0, y≧0のもとで２つの不等式 40x+30y≦4200 ...(a) 30x+15y≦3000 ...(b) が成り立ちます。 なお、(a)は整理すると 4x+3y≦420 ...(c) x≧0, y≧0を加味すると 0≦3y≦420-4x≦420 ...(d) となる。 また、(b)は整理すると 2x+y≦200 ...(e) x≧0, y≧0を加味すると 0≦y≦200-2x≦200 ...(f) となる。 問題が要求している２つの不等式は 「(a),(b)」または簡単化した「(c),(e)」で 良いと思います。 (2) グラフは(c),(e)とx≧0,y≧0の共通領域を図示すればすればいいでしょう。 (3) P＝50ｘ+30ｙ ...(g) この利潤P(万円)が最大になるのは、(2)で描いた領域から (g)を直線の方程式が、 (c),(e)の境界線 4x+3y=420 2x+y=200 の交点(90,20)を通る時である。 したがってPが最大になる時のx,yは x=90 (個), y=20 (個) この時の利潤Pは P=50*90+30*20=5100 (万円) になる。
お礼
わかりやすく説明して下さり、本当にありがとうございます。 しっかりと学ばさせていただきます。
- spring135
- ベストアンサー率44% (1487/3332)
（１）Aの生産量をｘ単位、Bの生産量をｙ単位とし、電力と作業員の使用上限より、2本の不等式を作りなさい。 電力については 40x+30y≦4200 (eq1) 作業員については 30x+15y≦3000 (eq2) （２） （１）の不等式を満たす範囲をグラフで示しなさい。ただし、ｘ≧0、ｙ≧0とする。 eq1から 4x+3y≦420 eq2から 2x+y≦200 したがって 4x+3y=420 (eq3) 2x+y=200 (eq4) x=0 (eq5) y=0 (eq6) eq3~eq6によって囲まれる四辺形Tの内部である。x,y平面にeq3~eq6を図示し、Tを色付けして示すこと。 eq3の切片は(105,0),(0,140) eq4の切片は(100,0),(0,200) eq3とeq4の交点はこれらを連立して(90,20)であることを確認すること。 したがって四辺形Tの4頂点の座標は O(0,0), A(100,0), B(90,20), C(0,140)であることを確認すること。 （３） 1カ月の利潤をPとすると、利潤はP＝50ｘ+30ｙで表せる。 この工場は（２）の範囲内で、この直線の切片P/30が最大になる点で最大の利潤を得る。この時のｘとｙを求めなさい。またこの時の利潤Pはいくらになるか。 要するに四辺形Tの中及び周辺を通り、 P＝50ｘ+30ｙ (eq7) が最大になる点を求めよということである。これはいわゆる線形計画法という最適化手法の一つである。 いま、Pを定数と仮定するとeq7はxy平面での直線であって変形して y=(-5/3)x+P/30 (eq8) とするとその傾きは-5/3である。したがって傾き-5/3の直線を四辺形Tの上で平行移動しながら Pが最大となる点を求めれば良い。P/30はeq8のy切片である。 したがってeq8がA、BまたはCを通るときPが最大になることは理解できますか。 eq3,eq4,eq8の傾きは-3/4,-2,-5/3であって、eq8が点Bを通るとき、 eq8はeq3,eq4の間を通ることになる。この時eq8のy切片が最大となることを図の上で確認してください。 以上よりeq7またはeq8にB(90,20)の座標の値を代入してPの最大値は P＝5100、(x,y)=(90,20)
お礼
詳細まで教えていただき、本当にありがとうございました。 早速学ばさせていただきます。
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