複雑な連立方程式３

質問

【もう一つお願いします。】
次の３つの式を満たす、α、β、γ　は簡単にａ、ｂ、ｃ、ｄで表現できるでしょうか？　全ての文字は実数とします。

（４γ＾２－１６β＾２）／（４γ＾２－１６α＾２）
　　　　　　　　　　　＝　（ａ＾２＋ｂ＾２）／（ｃ＾２＋ｄ＾２）

８αβ／（γ＾２－４α＾２）　＝２（ａｃ＋ｂｄ）／（ｃ＾２＋ｄ＾２）

｛γ＾４－４γ＾２（α＾２＋β＾２）}／（４γ＾２－１６α＾２）　
　　　　　　　　　　　　＝（ａｄーｂｃ）＾２／（ｃ＾２＋ｄ＾２）　

https://okwave.jp/qa/q9554600.html
で作った問題で式が１つ不要みたいなので、３本にしてみました。
解けるかどうか自分でもわからず・・・。宜しくお願いします。

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

(4γ^2-16β^2)/(4γ^2-16α^2)=(a^2+b^2)/(c^2+d^2)…(1)
8αβ/(γ^2-4α^2)=2(ac+bd)/(c^2+d^2)…(2)
{γ^4-4γ^2(α^2+β^2)}/(4γ^2-16α^2)=(ad-bc)^2/(c^2+d^2)…(3)
x=α^2≧0…(4)
y=β^2≧0…(5)
z=γ^2≧0…(6)
A=a^2+b^2…(7)
B=ac+bd…(8)
C=c^2+d^2…(9)
D=ad-bc…(10)
とすると
B^2+D^2-AC=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2-(a^2+b^2)(c^2+d^2)=0
だから
B^2+D^2=AC

(1)の両辺にC(z-4x)をかけると(4)(5)(6)(7)(9)から
C(x-4y)=A(z-4x)
↓両辺に4Ax-Czを加えると
4Ax-4Cy=(A-C)z…(11)

(2)の両辺にC(z-4x)/2をかけると(4)(6)(8)(9)から
4Cαβ=B(z-4x)
↓両辺に4Bxを加えると
4Bx+4Cαβ=Bz…(12)

(3)の両辺に4C(z-4x)をzかけると(4)(5)(6)(9)(10)から
C{z^2-4z(x+y)}=4D^2(z-4x)…(13)

(11)*(ac+bd)=(12)*(A-C)だから
4B(Ax-Cy)=4(Bx+Cαβ)(A-C)
↓両辺を4で割ると
B(Ax-Cy)=(Bx+Cαβ)(A-C)
↓両辺に(C-A)Bxを加えると
CB(x-y)=Cαβ(A-C)
↓両辺をCで割ると
B(x-y)=αβ(A-C)
↓両辺を2乗すると
B^2(x-y)^2=xy(A-C)^2…(14)
B^2(x^2+y^2-2xy)=xy(A-C)^2
↓両辺に2xyB^2を加えると
B^2(x^2+y^2)=xy{(A-C)^2+2B^2}
B^2(x^2+y^2)=xy[A^2+C^2-2(AC-B^2)]
↓B^2=AC-D^2だから
(AC-D^2)(x^2+y^2)=(A^2+C^2-2D^2)xy…(15)

(11)の両辺を2乗すると
16(Ax-Cy)^2=(A-C)^2(z^2)…(16)
(13)の両辺に(A-C)^2をかけると
C{(A-C)^2(z^2)-4{(A-C)^2}z(x+y)}=4D^2(A-C)^2(z-4x)
↓これに(16)(11)を代入すると
16C{(Ax-Cy)^2-(A-C)(Ax-Cy)(x+y)}=16(A-C)D^2{Ax-Cy-(A-C)x}
16C(Ax-Cy){Ax-Cy-(A-C)(x+y)}=16C(A-C)D^2(x-y)
16C(Ax-Cy)(Cx-Ay)=16C(A-C)D^2(x-y)
↓両辺を16Cで割ると
(Ax-Cy)(Cx-Ay)=(A-C)D^2(x-y)
AC(x^2+y^2)-(A^2+C^2)xy=(A-C)D^2(x-y)
↓これから(15)を引くと
D^2(x^2+y^2)-(A^2+C^2)xy=(A-C)D^2(x-y)-(A^2+C^2-2D^2)xy
↓両辺に(A^2+C^2-2D^2)xy-(A-C)D^2(x-y)を加えると
D^2(x^2+y^2)-2xyD^2-(A-C)D^2(x-y)=0
↓両辺をD^2で割ると
x^2+y^2-2xy-(A-C)(x-y)=0
(x-y)^2-(A-C)(x-y)=0
(x-y)(x-y-A+C)=0
x=yの時(14)から
0=xy(A-C)^2
A≠Cの時
x=y=0
(11)から
0=(A-C)z
x=y=z=0

x-y=A-Cの時
↓両辺にy-A+Cを加えると
x-A+C=y…(17)
(14)から
B^2(A-C)^2=xy(A-C)^2
↓両辺からxy(A-C)^2を引くと
(A-C)^2(B^2-xy)=0
A≠Cの時
xy=B^2
↓これに(17)を代入すると
x(x-A+C)=B^2
x^2-(A-C)x=B^2
{x-(A-C)/2}^2={4B^2+(A-C)^2}/4
x≧0だから
x=[A-C+√{4B^2+(A-C)^2}]/2…(18)
↓これを(17)に代入すると
y=[C-A+√{4B^2+(A-C)^2}]/2
↓これと(18)を(11)に代入すると
z=2[A+C+√{4B^2+(A-C)^2}]
↓
α^2=[a^2+b^2-c^2-d^2+√{4(ac+bd)^2+(a^2+b^2-c^2-d^2)^2}]/2
β^2=[c^2+d^2-a^2-b^2+√{4(ac+bd)^2+(a^2+b^2-c^2-d^2)^2}]/2
γ^2=2[a^2+b^2+c^2+d^2+√{4(ac+bd)^2+(a^2+b^2-c^2-d^2)^2}]
∴
α=±√([a^2+b^2-c^2-d^2+√{4(ac+bd)^2+(a^2+b^2-c^2-d^2)^2}]/2)
β=±√([c^2+d^2-a^2-b^2+√{4(ac+bd)^2+(a^2+b^2-c^2-d^2)^2}]/2)
γ=±√(2[a^2+b^2+c^2+d^2+√{4(ac+bd)^2+(a^2+b^2-c^2-d^2)^2}])

お礼

！