複雑な連立方程式

質問

次の４つの式を満たす、α、β、γ　は簡単にａ、ｂ、ｃ、ｄで表現できるでしょうか？　全ての文字は実数とします。

　　　　　　４γ＾２－１６α＾２　＝　ｄ＾２＋ｃ＾２
　　　　　　４γ＾２－１６β＾２　＝　ａ＾２＋ｂ＾２
　　　　　　　　　　　　１６αβ　＝　ａｃ＋ｂｄ
γ＾４－４γ＾２（α＾２＋β＾２）　＝　（ａｄーｂｃ）＾２

　未知数３個に対し、式が４つあるので、一つは不要な気がしないでもありません・・・。
ご教授お願いします。

回答No.1

deshabari-haijo · ベストアンサー

4γ^2-16α^2=d^2+c^2－(1)
4γ^2-16β^2=a^2+b^2－(2)
16αβ=ac+bd－(3)
γ^4-4γ^2(α^2+β^2)=(ad-bc)^2－(4)
{(1)+(2)}×γ^2から、
4γ^4-16(α^2+β^2)γ^2=(a^2+b^2+c^2+d^2)γ^2－(5)
(4)×4から、
4γ^4-16(α^2+β^2)γ^2=4(ad-bc)^2－(6)
(5)と(6)から、
γ^2=4(ad-bc)^2/(a^2+b^2+c^2+d^2)（分母≠0として）－(7)
(1)から、
α^2=(4γ^2-d^2-c^2)/16－(8)（これに(7)の値を代入）
(2)から、
β^2=(4γ^2-a^2-b^2)/16－(9)（これに(7)の値を代入）

以上から、α^2、β^2、γ^2の値を、a、b、c、dで表現することができます。
つまり、α、β、γの値を、a、b、c、dで表現することができます。
ただし、α^2≧0とβ^2≧0となる結果が得られた上で、αとβの組合せが(3)を満たすかどうかの確認が必要になります。（ac+bdの符号に影響されます。）
また、(7)からγ^2≧0になるので、γについては他に満たすべき条件はありません。