数学

質問

（４）の解答解説お願いしたいですm(_ _)m
ちなみに
（１）sinθ=1/k
（２）S=log｛(k+1)/(k-1)｝
（３）曲線:y=tanx (0＜x＜π/2)となります

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回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

kは1より大きな実数とし,
-π/2≦x≦π/2を満たす実数xに対して,
xの関数
f(x)=cosx/(k-sinx)を考える.
xy平面上で曲線F:y=f(x)とx軸で囲まれる領域をDとし,
その面積をSとする
(1)
θ=arcsin(1/k)
sinθ=1/k
(2)
S=log{(k+1)/(k-1)}
(3)
G:y=tanx
(4)
Dのうち(3)の曲線G:y=tanxより右側の部分の面積をS1とすると,
曲線F:y=cosx/(k-sinx)と曲線G:y=tanxの交点のx座標は(1)から
sinx=1/k
x=arcsin(1/k)
だから
S1=∫_{0～arcsin(1/k)}tanxdx+∫_{arcsin(1/k)～π/2}cosx/(k-sinx)dx…(4.1)

t=cosxとするとdt=-sinxdx
x=arcsin(1/k)の時
sinx=1/k
t=cosx=√{1-(sinx)^2}=√{1-1/k^2}={√(k^2-1)}/k
だから
∫_{0～arcsin(1/k)}tanxdx
=∫_{1～{√(k^2-1)}/k}(-1/t)dt
=∫_{{√(k^2-1)}/k～1}(1/t)dt
=[logt]_{{√(k^2-1)}/k～1}
=-log[{√(k^2-1)}/k]
=logk-log√(k^2-1)
=logk-(1/2)log(k^2-1)
=logk-(1/2)log(k+1)-(1/2)log(k-1)…(4.2)

t=k-sinxとするとdt=-cosxdx
x=arcsin(1/k)の時
sinx=1/k
t=k-1/k=(k^2-1)/k
だから
∫_{arcsin(1/k)～π/2}cosx/(k-sinx)dx
=∫_{(k^2-1)/k～k-1}(-1/t)dt
=∫_{k-1～(k^2-1)/k}(1/t)dt
=[logt]_{k-1～(k^2-1)/k}
=log{(k^2-1)/k}-log(k-1)
=log(k+1)-logk…(4.3)

(4.2)と(4.3)を(4.1)へ代入すると

S1
=logk-(1/2)log(k+1)-(1/2)log(k-1)+log(k+1)-logk
=log(k+1)-(1/2)log(k+1)-(1/2)log(k-1)
=(1/2)log(k+1)-(1/2)log(k-1)
=(1/2)log{(k+1)/(k-1)}
↓(2)からS=log{(k+1)/(k-1)}だから
=(1/2)S