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数学
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kは1より大きな実数とし, -π/2≦x≦π/2を満たす実数xに対して, xの関数 f(x)=cosx/(k-sinx)を考える. xy平面上で曲線F:y=f(x)とx軸で囲まれる領域をDとし, その面積をSとする (1) f'(x) =-sinx/(k-sinx)+(cosx)^2/(k-sinx)^2 ={(cosx)^2-sinx(k-sinx)}/(k-sinx)^2 ={(cosx)^2+(sinx)^2-ksinx}/(k-sinx)^2 =(1-ksinx)/(k-sinx)^2 だから sinx<1/kの時f'(x)>0だからf(x)は増加 sinx>1/kの時f'(x)<0だからf(x)は減少 だから sinx=1/kの時f(x)は最大となるから f(x)が最大となるxの値をθとするとき, sinθ=1/k (2) f(-π/2)=0 f(π/2)=0 だから S =∫_{-π/2～π/2}f(x)dx =∫_{-π/2～π/2}cosx/(k-sinx)dx ↓t=k-sinxとするとdt=-cosxdx,k-1<t<k+1だから =∫_{k-1～k+1}(1/t)dt =[logt]_{k-1～k+1} =log(k+1)-log(k-1) =log{(k+1)/(k-1)} (3) (1)のθに対し,点P(θ,f(θ))を考える. kがk>1の範囲で動くとき, 0<sinθ=1/k<1 だから θはπ/2>θ>0の範囲で動くから f(θ) =cosθ/(k-sinθ) ↓sinθ=1/k ↓k=1/sinθだから =cosθ/{(1/sinθ)-sinθ} =cosθsinθ/{1-(sinθ)^2} =cosθsinθ/(cosθ)^2 =sinθ/cosθ =tanθ(0<θ<π/2)
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