数学

質問

この問題解説してください
答えは
（１）sinθ=1/k
（２）S=log｛(k+1)/(k-1)｝
（３）曲線:y=tanx (0＜x＜π/2)となります

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回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

kは1より大きな実数とし,
-π/2≦x≦π/2を満たす実数xに対して,
xの関数
f(x)=cosx/(k-sinx)を考える.
xy平面上で曲線F:y=f(x)とx軸で囲まれる領域をDとし,
その面積をSとする
(1)
f'(x)
=-sinx/(k-sinx)+(cosx)^2/(k-sinx)^2
={(cosx)^2-sinx(k-sinx)}/(k-sinx)^2
={(cosx)^2+(sinx)^2-ksinx}/(k-sinx)^2
=(1-ksinx)/(k-sinx)^2
だから
sinx<1/kの時f'(x)>0だからf(x)は増加
sinx>1/kの時f'(x)<0だからf(x)は減少
だから
sinx=1/kの時f(x)は最大となるから
f(x)が最大となるxの値をθとするとき,
sinθ=1/k

(2)
f(-π/2)=0
f(π/2)=0
だから
S
=∫_{-π/2～π/2}f(x)dx
=∫_{-π/2～π/2}cosx/(k-sinx)dx
↓t=k-sinxとするとdt=-cosxdx,k-1<t<k+1だから
=∫_{k-1～k+1}(1/t)dt
=[logt]_{k-1～k+1}
=log(k+1)-log(k-1)
=log{(k+1)/(k-1)}

(3)
(1)のθに対し,点P(θ,f(θ))を考える.
kがk>1の範囲で動くとき,
0<sinθ=1/k<1
だから
θはπ/2>θ>0の範囲で動くから
f(θ)
=cosθ/(k-sinθ)
↓sinθ=1/k
↓k=1/sinθだから
=cosθ/{(1/sinθ)-sinθ}
=cosθsinθ/{1-(sinθ)^2}
=cosθsinθ/(cosθ)^2
=sinθ/cosθ
=tanθ(0<θ<π/2)

お礼

（４）もお願いしたいです！