グラフの立ち上がり方と物理現象

質問

「xを大きくしたらyの値が増加した」と言っても、劇的な増加だったのか、最初はゆっくり増加していったのか2種類あります。

物理現象を測定してグラフで表す時、上に凸の曲線の場合は急激に立ち上がるがいずれ飽和するような現象が多いように思えます。(コンデンサーの充電や落下物体の終端速度)
一方、下に凸の場合だと最初はゆっくりの変化だがすぐに急激に増加するような現象が多いように思えます。(電子のエネルギーやプランクの式)そしてそれは飽和せずに無限大になるか途中で変曲点を迎えてピークを持ちます。

これらの事を踏まえて上に凸の曲線の時はどんな現象か、下に凸の曲線の時ならこんな現象、みたいに一般的な共通点があると考えられますか？言い方を変えると、どういう物理現象だと上に凸のグラフになるのか予測が立てられるのでしょうか？数式で{1-exp(-kx)}があるなら上に凸で飽和するだろうではなく、どういう力が働いてる系だと{1-exp(-kx)}の項で表せられるのかです。

広い測定範囲内において始点と終点を観測した人間からすれば、もしある一定値に落ち着いたとき、第二次導関数が負で上に凸のグラフになったと見て分かります。しかし測定対象の物質からすれば、x=0付近で急増してx→∞でいつかは一定値に漸近するかどうかなんて分かりません。しかしx=0付近だけの曲線の立ち上がり方(凸の向き)を調べるだけでグラフ全体の形を推定できそうな気もします。だとしたらこれは何故でしょうか。またグラフ上の変曲点は物理的にどういう意味を与えていると考えるべきなのですか。
上でも書きましたが、一般的に上に凸の曲線のグラフは測定系にどのような力が働いている結果なのか等の共通点があれば教えていただきたいです。

回答No.4

ddtddtddt

＞物理現象を測定してグラフで表す時、上に凸の曲線の場合は急激に立ち上がるがいずれ飽和するような現象が多いように思えます。(コンデンサーの充電や落下物体の終端速度)
＞一方、下に凸の場合だと最初はゆっくりの変化だがすぐに急激に増加するような現象が多いように思えます。(電子のエネルギーやプランクの式)そしてそれは飽和せずに無限大になるか途中で変曲点を迎えてピークを持ちます。

　上記のような傾向は、なんとなくはある気がします(^^)。でも皆さんが仰っているように、いつもそうだとは限りません。

　現象を表す微分方程式を調べてみるというのはどうでしょう？。例えば、速度に比例する抵抗力を受ける落体の運動は、

　　my''＋cy'＋mg＝0　　　(1)

で表せます。ここでmは落体の質量，cは減衰定数，mgは重力です。(1)を(y"，y')のグラフとして描いたとき、何か見えて来ませんか？。

回答No.3

stdyphy

>しかしx=0付近だけの曲線の立ち上がり方(凸の向き)を調べるだけでグラフ全体の形を推定できそうな気もします。

残念ですが、それは錯覚だと思いますよ。

実際の物性は、単一の物理的要因だけでなく、複数の要因の影響を受けます。
仮に、何らかの x の範囲 0 ≦ x ≦ x1 で物性を測定して、xに依存しない物理的要因、xの一次に比例する要因、xの二次に比例する要因があることが分かったとします。

y = a + b * x + c * x ^ 2

x = 0 では a が主要で、x が少し大きくなると b の効果が効いてきて、更に大きくすると c の効果が見えてきますね？

では x2 >> x1 の範囲で、更なる x の高次項が出てこない事を 0 ≦ x ≦ x1 の範囲の測定から示すことが出来ますか？

もちろん限られた x の範囲でしか測定が出来ないものを、モデルを使って広い x の範囲に外挿するということはよくやられています。しかしその場合は、そのモデルがどの程度の x の範囲まで適用できるのかはよく考えないといけません。

回答No.2

hue2011

どういう議論をなさりたいのかよくわかりませんが、ルネ・トムというのを知りませんか。
そういう非連続的な物理検証を解釈するための7つのモデルを提唱したひとで、これを「カタストロフィー理論」といいます。物理学ではなく数学です。
これをここの枠内で説明しろといっても、たった一つのカスプ理論ですら説明しきれませんから、カタストロフィーと言うタイトルがある数学の本を読んでみてください。

回答No.1

tetsumyi

物理的に基本的には慣性を持った事象では急激に立ち上がらないでゆっくり増加して飽和することになります。
また、立下りも同様です。
しかし測定結果がどうなるか、これは測定機器が本来の現象を遅れなく捕らえ表示できるかと言う問題も含めれることになります。
原子、素粒子レベルの測定となると測定結果の時間推移に付いてそのまま受け入れることはできません。
測定そのものが現象に重大な影響を与えており、現象の発現はあったのでしょうがその詳細をどうこう議論することはほとんど意味がありません。
たとえば光の干渉の観測等という考察がありますが、これは光と言う電磁現象を電子雲が広がる物体の狭いスリットを通過させた結果生じるものであり、これが本来の光の性質であると論じることに意味があるのかどうか私は非常に疑問を持っています。