図形の性質がわかません。

質問

図の∠OEBが90度になる理由がわかりません。
見れば直感でわかるかもしれないですが、その証明ができません。
問題は点Ｏを中心とする半径1の円Ｏがあり、円Ｏの外部の点Ａから円Ｏに引いた２本の接線と円Ｏの接点をB、Cとする。
AB=2とする。

回答No.3

deshabari-haijo · ベストアンサー

この問題では、半径1、AB=2という条件を用いるべきであると考えます。
ただし、高校数学の範囲になります。
（生年月日がプロフィールの通りであれば、支障ありませんね。）

直角三角形OABにおいて、三平方の定理から、
OA=√(AB^2+OB^2)=√(2^2+1^2)=√5
点Cから線分ABに下した垂線の足をHとすると、
CH=ACsin(∠CAB)=ACsin(2×)=2×2sin(×)cos(×)=4×1/√5×2/√5=8/5
直角三角形CAHにおいて、三平方の定理から、
AH=√(AC^2-CH^2)=√{2^2-(8/5)^2}=6/5
これから、BH=AB-AH=2-6/5=4/5
線分ABをxy平面上でx軸に重ねたとき、
線分BCの傾きは、-CH/BH=-(8/5)/(4/5)=-8/4=-2
このとき、線分OAの傾きは、OB/AB=1/2
（線分OAの傾き）×（線分BCの傾き）=1/2×(-2)=-1
よって、線分OAと線分BCは直交するので、∠OEB=90°

なお、AB=AC、∠EAB=∠EACであることの証明は、別解の通り

（別解）
△OABと△OACにおいて、OAは共通、OB=OC（半径）
また、△OABと△OACは直角三角形であるから、
三平方の定理から、AB^2=AC^2=OA^2-OB^2=OA^2-OC^2
よって、AB=ACであるから、3辺の長さがそれぞれ等しく、△OAB≡△OAC

△EABと△EACにおいて、EAは共通
△OAB≡△OACであるから、AB=AC、∠EAB=∠EAC
よって、2辺とその間の角がそれそれ等しく、△EAB≡△EAC
これから、∠BEA=∠CEA=180°/2=90°

∠OEBは、∠CEAの対頂角（∠BEAの補角）であるから90°

お礼

ありがとうございます！助かりました！

回答No.2

山田 太郎（@f_a_007）

１、三角形ACOと三角形ABOは合同である。
２、ならば、点Cと点Bは線AOで折れば重ねる。
３、よって、三角形CEOと三角形BEOもまた合同である。
４、ならば、角EEOと角BEOの角は一致する。
５、それぞれの角をX°で表すと2X°=180°。
６、よって、角BEO（＝X°）は９０°である。

お礼

わかりやすい解説ありがとうございます！

回答No.1

178-tall

「図」の記号を頼りに…。

⊿ACO と ⊿ABO にて、
　OC = OB = 円 O の半径
　AC, AB は 円 O の接線 → ∠OCA = ∠OBA = 直角
　その直角の対辺 AO は共通
　　　↓
⊿ACO と ⊿ABO は「合同」らしいから、⊿ABC は二等辺三角形 (AC = AB) であり、
∠CAO = ∠BAO　(「図」にて、× 表示) が成立。
　　　↓
「二等辺三角形の頂角 A の二等分線は、底辺 BC を垂直に二等分する (at E) 」

お礼

二等辺三角形の二等分線って直角になるのですか！知れてよかったですありがとうございました！