阿弥陀クジの謎

質問

阿弥陀クジは、なぜ、途中に何本線を加えても必ず一つに複数が集まることなく、全部に綺麗に「ばらける」のでしょうか？

これは数学的に証明など出来るものでしょうか？
証明した事例・数式などは、ありますか？

回答No.3

staratras · ベストアンサー

数学的にいうと、「あみだくじ」は複数のものを入れ替える「置換」を、2つのものを互いに入れ替える「互換」の組み合わせ（積）で行うものなので、「あみだくじ＆置換」や「あみだくじ＆互換」で検索すると、ご質問に関連する興味深い結果が得られます。

ただし、「途中に何本線を加えても必ず一つに複数が集まることなく、全部に綺麗に「ばらける」」ことは、背理法で容易にわかります。

まず前提として、あみだくじは一つの入り口から一つの出口に到達するもので、またあみだくじの入り口と出口の数は同じだとします。ここで「同じ出口にたどり着く複数の異なる入り口が存在する」と仮定すれば、入り口と出口の数が同じなので、出口が余ってしまい、「どの入口からも到達できない出口」が存在することになります。

しかしその到達できない出口からでも、あみだくじを逆にたどれば、必ずどこかの入り口に到達します。あみだくじは入り口からたどっても、出口から逆にたどっても経路は同じではずなのでこれは矛盾で、仮定「同じ出口にたどり着く複数の異なる入り口が存在する」は成立しません。したがってご質問の命題が成立します。

なお余談ですが、初期の「あみだくじ」（室町時代）は現在のような縦線型ではなく、円形の放射状だったそうで、その形が仏像の阿弥陀様の背後にある「光背」（後光を表す放射状の線）の形に似ていたので「阿弥陀くじ」と呼ばれるようになったと言われています。また初期のあみだくじには、横線にあたるものがなく、真ん中の出口を隠していたそうで、これでは「必ず一つに複数が集まることなく、全部に綺麗に「ばらける」」のは当たり前ですね。

お礼

「常識」の数学的な証明を、ありがとうございました。
なるほど、当たり前のことを改めて証明するとき、背理法が使えますね。
ここに思いが至るのは数学をやっている人なればこそでしょう。
感謝申し上げます。

回答No.2

hue2011

線が交差する点で、二方向どちらにいってもいいという許可があるなら行先は二つ以上になります。
しかし、どの点も、こちらにしか行けないというルールになっています。
行先は一か所しかありえないのです。

この話は、ゴールから逆にたどって経路を見たらわかります。
逆に進めると、分岐点ではどちらにいこうかという線は2つ以上あるはずです。つまり始点は、線を加えると増えるのです。

お礼

前半で分かったのが、後半で分からなくなりました。
回答者１さんのとで、分かりました。
ありがとうございました。

回答No.1

g27anato

各線を通るたびに、
左右が入れ替わるだけです。

線の数だけ入れ替わりによる移動が増えるだけで、
移動により想定される片寄りは、入れ替わりによって相殺されてます。

…なんですが、
質問は「証明」「事例」「数式」ですか…。

ゴメンナサイ、あまりに簡単な事だったので、
理屈としては理解していても、
逆に教えてあげられる知識としては何も持ち合わせていませんでした。
（ああ…答えられなくて恥ずかしい。）

お礼

いえいえ。
照明するまでもない自明のことだったというオチでした。
言われてみるとそうでした(*_*)
ありがとうございました。