確率・統計の問題です。

質問

以下の問題の解答をお願いします。

確率変数X,Yの同時確率密度関数 fx,y(x,y) が次式で与えられている。但し、cは定数とする。これについて、以下の問いに答えよ。

fx,y(x,y) = { ce^(-x-y), 0≦x≦y
0, その他 }

(1)cの値を求めよ。
(2)Yの周辺確率密度関数fy(y)を求めよ。
(3)XとYが独立であるか否かを、理由と共に答えよ。

回答No.3

jcpmutura · ベストアンサー

fx,y(x,y)={ce(-x-y),0≦x≦y
0,その他}
(1)
全範囲で積分して1になるようなcの値を求める
∫_{0～∞}[∫_{0～y}fx,y(x,y)dx]dy=1
=∫_{0～∞}[∫_{0～y}ce^(-x-y)dx]dy=1
=c∫_{0～∞}e^(-y)[∫_{0～y}e^(-x)dx]dy
=c∫_{0～∞}e^(-y)[-e^(-x)]_{0～y}dy
=c∫_{0～∞}e^(-y)[1-e^(-y)]dy
=c∫_{0～∞}[e^(-y)-e^(-2y)]dy
=c[-e^{-y}+e^{-2y}/2]_{0～∞}
=c[1-1/2]
=c/2=1
∴
c=2

(2)
fy(y)
=∫_{0～y}2e^(-x-y)dx
=2e^(-y)∫_{0～y}e^(-x)dx
=2e^(-y)[1-e^(-y)]
=2[e^(-y)-e^(-2y)]

(3)
XとYは独立でない
fx(x)
=∫_{x～∞}2e^(-x-y)dy
=2e^(-x)∫_{x～∞}e^(-y)dy
=2e^(-x)[-e^(-y)]_{x～∞}
=2e^(-2x)
0≦x≦yの時
fx,y(x,y)=2e^(-x-y)≠2e^(-2x)*2[e^(-y)-e^(-2y)]=fx(x)fy(y)
fx,y(x,y)≠fx(x)fy(y)
だからXとYは独立でない

お礼

丁寧な解答ありがとうございます。おかげで理解することができました！