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cos18°の求め方

三角関数表を使わずにcos18°の求め方がわかりません。

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sin(2*18°) = sin36°= sin(90°-54°) = cos(54°) = cos(3*18°) sinの二倍角の公式 sin2θ = 2sinθ*cosθ cosの三倍角の公式 cos3θ = 4*(cosθ)^3-3cosθ より 2sin18°*cos18° = 4*(cos18°)^3-3cos18° 両辺をcos18°で割ると 2sin18°= 4*(cos18°)^2-3 (sinθ)^2 + (cosθ)^2 = 1より 2sin18°= 4*(1-(sin18°)^2)-3 = 4-4(sin18°)^2-3 = 1-4(sin18°)^2 4(sin18°)^2+2sin18°-1 = 0 二次方程式解の公式より sin18° = (-1±√5)/4 sin18°> 0より sin18° = (-1+√5)/4 (sinθ)^2 + (cosθ)^2 = 1より (cos18°)^2 = 1-((-1+√5)/4)^2 = 1-((1-2√5+5)/16) = 1-((6-2√5)/16) = 1-((3-√5)/8) = (8-3+√5)/8 = (5+√5)/8 cos18°= √((5+√5)/8) = √(10+2√5)/4 もしかしたら五倍角の公式 sin5θ = 16(sinθ)^5-20(sinθ)^3+5sinθ cos5θ = 16(cosθ)^5-20(cosθ)^3+5cosθ とか使ってもっとスマートに解けるのかも知れません。

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質問者からのお礼

丁寧な解説をありがとうございます。三角関数で大きな穴のあいている私にとって、このようにくわしい解説は本当にありがたいです。答えを知りたいのではなく、考え方を知りたかったんです。本当にありがとうございました。

その他の回答 (1)

  • 回答No.1

正五角形を利用すれば解けます。 下のサイトの 航海日誌 00/06/25 を参考にしてください。

参考URL:
http://genryu.cside4.com/yoshitago/donnwa/sei5hi.html

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質問者からのお礼

正五角形ですか。なるほど、その通りですね。相似な三角形の相似比を利用するのかな、と少し考え始めていたところです。ありがとうございました。

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