シムソンの定理 拡張 ターナー

質問

シムソンの定理を拡張した証明がわかならくて、質問します。
半径rの円O(中心O)に、Qは円外の点として中心Oを通る半直線上に、2点P,Qを
OP・OQ＝r^2であるようにとった時、２点P,Qは円Oに関して互いに反点をなすという。このことを用いてシムソンの定理を拡張します。
△ABCの外接円Oに関して、互いに反点をなす２点をP,Qとし、3辺BC,CA,AB(の延長)に関する点Pの対称点をそれぞれ、L,M,Nとする。3直線QL,QM,QNがBC,CA,ABと交わる点をX,Y,Zとすると、3点X,Y,Zは1直線上にある。
証明は、円Oに関して、２点P,Qは互いに反点をなすから、OB^2=OP・OQよってOBは円BPQに接するゆえに、∠OBP＝∠OQB・・・(1)。線分PQと円Oとの交点Sとすると、OB=OSから∠OBS=∠OSB・・・(2)　(2)-(1)から、
∠OBS-∠OBP＝∠OSB-∠OQB　よって∠PBS＝∠QBS・・・(3)
点NはABに関する点Pの対称点であるから　∠NBA＝∠PBA、BN=BPよって
∠QBN＝∠PBQ+∠PBN＝2∠PBS＋2∠PBA＝2(∠PBS+∠PBA)=2∠SBAつまり
∠QBN＝2∠SBAここまでは理解できました。
同様にCP=CMから∠QCM=2∠SCYが証明できません。
OC^2=OP・OQよって、∠OCP＝∠OQC。∠OCP-∠CPM＝∠OQC-∠CMPとしても、図でどこの角になるのかわかりません。
どなたかCP=CMから∠QCM=2∠SCYを証明する方法をおしえてください。お願いします。

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

|OB|^2=|OP||OQ|よってOBは円BPQに接するゆえに、∠OBP=∠OQB・・・(1)。
↓BをCへ,(1)を(1')へ,置き換えると
↓
|OC|^2=|OP||OQ|よってOCは円CPQに接するゆえに、∠OCP=∠OQC・・・(1')。

線分PQと円Oとの交点Sとすると、
OB=OSから∠OBS=∠OSB・・・(2)
↓BをCへ,(2)を(2')へ,置き換えると
↓
OC=OSから∠OCS=∠OSC・・・(2')

　(2)-(1)から、
∠OBS-∠OBP=∠OSB-∠OQB　よって∠PBS=∠QBS・・・(3)
↓BをCへ,(1)(2)(3)を(1')(2')(3')へ,置き換えると
↓
　(2')-(1')から、
∠OCS-∠OCP=∠OSC-∠OQC　よって∠PCS=∠QCS・・・(3')

点NはABに関する点Pの対称点であるから　∠NBA=∠PBA、BN=BPよって
↓NをMへ,BをCへ,置き換えると
↓
点MはACに関する点Pの対称点であるから　∠MCA=∠PCA、CM=CPよって

∠QBN=∠PBQ+∠PBN=2∠PBS+2∠PBA=2(∠PBS+∠PBA)=2∠SBAつまり
∠QBN=2∠SBA
↓NをMへ,BをCへ,置き換えると
↓
∠QCM=∠PCQ+∠PCM=2∠PCS+2∠PCA=2(∠PCS+∠PCA)=2∠SCAつまり
∠QCM=2∠SCA
↓∠QCMを360°-∠QCMへ
↓∠PCMを360°-∠PCMへ
↓
360°-∠QCM=∠PCQ+360°-∠PCM=2∠PCS+2∠PCA=2(∠PCS+∠PCA)=2∠SCAつまり
360°-∠QCM=2∠SCA
↓両辺に∠QCM-2∠SCAを加え左右を入れ替えると
∠QCM=360°-2∠SCA
∠QCM=2(180°-∠SCA)
↓180°-∠SCA=∠SCYだから
∴
∠QCM=2∠SCY

お礼

∠QCMを360°-∠QCMへ、∠PCMを360°-∠PCMへと、角度の求め方を工夫するとは、見事な発想ですね。詳しい解説と書き換えありがとうございます。