行列を用いた微分方程式の一般解の求め方

質問

[問] A = { { -1 , 2 } , { -2 , -5 } }の行列である. y' = A * y の一般解を求めよ.

固有値が重解になるパターンで, 固有ベクトル(1個は求められます)と一般解の求め方がわかりません.

固有値が異なる2つの実数解や複素数の場合, 一般解が
y = c_1 * (固有ベクトル_1) * exp (x * λ_1) + c_2 * (固有ベクトル_2) * exp (x * λ_2)
となることは知っているのですが, 固有値が重解の場合の一般解の形がわかりません.

ご教示願います.

回答No.2

jcpmutura · ベストアンサー

D=d/dt

A
=
(-1,2)
(-2,-5)

Y=(x(t);y(t))

D'
=
(D,0)
(0,D)

D'Y=AY

とすると

(D'-A)Y=0

D'-A
=
(D+1,-2)
(2.,D+5)

だから

(D+1)x(t)-2y(t)=0…(1)
2x(t)+(D+5)y(t)=0…(2)

(1)の両辺に(D+5)をかけると

(D+5)(D+1)x(t)-2(D+5)y(t)=0…(3)

(2)の両辺に2をかけると

4x(t)+2(D+5)y(t)=0

これに(3)を加えると

(D+5)(D+1)x(t)+4x(t)=0
(D^2+6D+9)x(t)=0
{(D+3)^2}x(t)=0

x(t)=(A+Bt)e^{-3t}

これを(1)に代入すれば

2y(t)=(D+1)[(A+Bt)e^{-3t}]
2y(t)=Be^{-3t}-3(A+Bt)e^{-3t}+(A+Bt)e^{-3t}
2y(t)=(B-2A-2Bt)e^{-3t}
両辺を2で割ると
y(t)={(B/2)-A-Bt}e^{-3t}

Y
=[(A+Bt)e^{-3t};{(B/2)-A-Bt}e^{-3t}]
=[A(1;-1)+B{t(1;-1)+(0;1/2)}]e^{-3t}
={(A+Bt)(1;-1)+B(0;1/2)}e^{-3t}

回答No.1

ddtddtddt

もちろんAの性質によりますが、Aがたとえ重複固有値を持っても、Aを対角化できるケースはけっこうあります。系統的に知られている対角化可能な最も広い条件は、Aが正規行列である事です。Aが正規行列とは、

　　AA*＝A*A

が成り立つ事です。ここでA*はAの複素共役転置で、Aが実行列なら単なる転置行列です。

　もし上記が成立とすると対角化可能なので、2次元の場合、対角化後の形はλEになります（Eは単位行列）。2次元の場合この意味するところは、全空間の任意のベクトルが固有値λに属する固有ベクトルという事です。2次元の場合そうであるならば、最初からA＝λEでなければなりません。

　残念ながらそうはなっていないので、Jordan細胞をキーワードにググってみて下さい。基底変換後のAに対する最も簡単な形の出し方がわかるはずです。

　そうして頑張って、2階微分方程式に帰着させるのが最も正直な方法だと思います。しょうがないんですよ。Aを対角化できないなら・・・(^^;)。