数学Iです。

質問

数学Iです。
関数 y=(x^2)/(x^2-2x+3) の(ｘ≧0）の値域を求めろという問題で
なぜ軸の場合分けが必要なのですか？
すみません。全く理解できません。
わかりやすく解説よろしくお願いします。
数学Iの二次不等式までの方法で教えてください。
ちなみに答えは

(2/3)≦y≦2 です。

参照:http://examist.jp/mathematics/quadratic-function2/kansuu-tiiki/

回答No.2

tmppassenger

参照先だと、まず問題が
y=(x^2 + 2) / (x^2-2x+3) [ｘ≧0]
となっていますが、確認してもらえますか？

お礼

ありがとうございます。
リンク先の方が正しいです。すみません。

回答No.1

Proof4

値域は、xの変わる範囲内でyがとりうる値の範囲のことでした。
これは逆に考えると、yがある値をとるとき、その値になるようなxが必ず存在するということです。

'なぜ軸の場合分けが必要か'とのことですが、x≧0という条件があるためです。

具体的に問題を解いてみます。
y=(x^2)/(x^2 - 2x + 3) を参考ページと同様に分母を払って
(y-1)x^2 - 2xy +3y = 0 ・・・<1>
[1] y=1のとき
　-2x + 3 = 0
　x = 3/2
　よって、y=1は値域に含まれます。

[2] y≠1のとき
　yがkという実数値を取るとしたとき、<1>より
　(k-1)x^2 - 2kx +3k = 0・・・<2>
　となります。

　yがkをとるとき、その値を与えるxが必ずあるので<2>は実数解を持つはずです。
　よって、判別式D≧0が成り立てばよく、
　(D/4) = (-k)^2 - 3k(k-1)
　　　　= -2k^2 + 3k
　　　　= -k(2k - 3)≧0
　よって、y≠1を考慮して0≦k＜1, 1＜k≦3/2・・・<3>

　x≧0の条件から、<2>は0以上の実数解を少なくとも一つ持つので、軸は0以上で
　-(-2k)/2(k-1)≧0
　k/(k-1)≧0
　ゆえにk≦0, 1＜k・・・<4>

　<3>,<4>よりk=0, 1＜k≦3/2

[1]と[2]の結果を合わせて、求める値域は
y=0, 1≦k≦3/2

提示されている答えは(2/3)≦y≦2となっていますが、試しに<1>にy=2を代入してみてください。xは実数解をもたないので少なくともy=2は値域に含まれないはずです。ご確認ください。
なお、このようにして値域を求める方法を逆手流や逆像法といいます。

参考URL：

http://examist.jp/mathematics/inverse-image/tiiki/

お礼

回答ありがとうございます。
サイトの答えが間違っていますか？