指数関数について

質問

指数関数について
自然数についての定義を用いて
整数の定義を教えてください

回答No.3

mitoneko · ベストアンサー

自然数における指数関数に対して、次の式が成り立ちます。
a^x*a^y = a^(x+y)
これを指数法則と言います。
この証明は、そこら中にあるので、調べてください。（指数関数の基礎の基礎です。）

さて、このｘやyを整数領域に拡大する時には、指数関数の定義を逆転させます。
つまり、任意の整数x,yに対して、
a^x*a^y = a^(x+y)　［ちゃんと関数の表記にすると、f(x)f(y)=f(x+y)]
が成り立つ関数を指数関数と「呼びます」。
これで、a^(-x)がわかります。
ちょっとやってみましょう。
まず、a^0です。
a^m*a^0 = a^(m+0) = a^m
となりますから、これが成り立つためには、a^0 = 1 となりますね。
さて、次に、マイナスの数です。
a^m*a^(-m) = a^(m+(-m)) = a^0 = 1 となり
両辺をa^mで割ると、
a^(-m) = 1/ (a^m)
となります。
だから、マイナス乗は、分数になるわけです。

実は、この定義で、指数関数の定義域は、有理数まで拡張できます。やり方は、一緒です。

さらに、ここからは、おまけです。
ここで、表現を少し変更して、指数法則をf(x)f(y)=f(x+y)と書き換えて、これを満たす関数fを考えます。
実は、あとひとつ、
df(x)/dx = f(x)
つまり、何回微分しても元の関数が変わらない。という条件をつけると定義域を複素数領域まで拡張できます。
つまり
f(x)f(y) = f(x+y)
df(x)/dx = f(x)
を満たす関数fを指数関数と呼ぶ。
と言うのが、指数関数の定義となります。このときの底（a^xの時のa）をネイピア数と呼び、通常は、eと表記します。
これだと、一見、ネイピア数が底の時だけしか使えないように見えますが、
a^x = b^(x*log(a)(b))　[logの最初の括弧のaがlogの底です。]
で、底は自由に変換できるので、これで、底を何にしても指数関数は計算できます。（この証明も、そこら中に転がってます。探してみましょう。）

　最初に、自然数の時に指数関数では、指数法則が成り立ちますとやっていたものをひっくり返して指数法則が成り立つ関数を指数関数と呼ぶとやってしまうところが、指数関数の定義のきもです。
　きっと、指数の＊＊＊定理と呼ばずに、指数「法則」と呼ぶのも、この辺からきています。

回答No.2

jcpmutura

a>0かつa≠1なる定数aに関して
変数xをa^xへ送る関数は
aを底とする指数関数と呼ばれる

指数関数の自然数についての定義
N=(全自然数)
g:N→R
を次のように定義する
g(1)=aと定義する
ある自然数nに対してg(n)が定義されている時
g(n+1)=g(n)×a
と定義する(×は乗算記号)

指数関数の整数についての定義
Z=(全整数)
f:Z→R
を次のように定義する
0<x∈Nの時
f(x)=g(x)
と定義する
f(0)=1
と定義する
0<-x∈Nの時
f(x)=1/g(-x)
と定義する

回答No.1

asuncion

何がおっしゃりたいのか全くわからないのは自分だけ？