断熱過程でのdU

質問

断熱過程でのTとV、PとVの関係を求めるときのことです。
dWを気体がした仕事とすると
熱力学第一法則dU=dQ-dWで
dQ=0より
dU=-dW　移項して
dU+dW=0ですよね。
ここで次の行で
Cv*dT+P*dV=0
となっているのですがdUがCv*dTとなるのがわかりません。

定積変化でT1→T2へ温度が上がったときの内部エネルギーの変化が
dU=Cv*dT=Cv*(T2-T1)
というふうになるのならわかるのですが。

断熱変化だと体積が変わるのに、なぜ定積変化と同じように内部エネルギーの変化dUが求められるのでしょうか。

http://homepage1.nifty.com/noric/Physics/Thermodynamics/2_InternalEnergyAndWork.htm
ちなみに上の「等温過程と断熱過程」というところを見たのですが、『準静的過程とは、～』という一文がヒントかなーと思いつつこの文の意味もよく理解できずにいます…。

回答よろしくお願いします。

回答No.2

siegmund · ベストアンサー

dV = 0 の前提がないと dU = C_v dT とは言えないのではないか？
そうではありません．

熱を与えたときに体積変化がなければ仕事をしませんから，
系に入った熱エネルギーはすべて内部エネルギーになります．
dU = C_v dT はそのことを言っているのです．
実際の過程で与えた熱がいくらかとは
直接の関係はありません．

dV ≠0 なら膨張にもエネルギーが使われます．
例えば，理想気体１モルで定圧変化なら
dQ = dU + p dV = dU + p(R/p)dT
　　= C_v dT + R dT
　　= (C_v ＋ R) dT
として，マイヤーの関係式
C_p = C_v + R
を導いているわけです．
このとき，定圧過程だから dU = C_v dT ではないとはいいませんね．
同じことです．

お礼

Cpを考えてみれば確かにそうですね。んーなんかわかってきました。どうもありがとうございました。

回答No.3

tocoche

内部エネルギーは気体分子の運動エネルギーであり、比熱は本来、Ｃｖしかありません。　定圧比熱Ｃｐは膨張仕事に使ったエネルギーの分、加熱しても気体の温度が上がりにくいのでＣｖより大きな値となります。（みかけの比熱）　断熱変化では膨張仕事に使った分だけ内部エネルギーが消費され、熱の出入りがないので、みかけの比熱の定義自体がなくなります。（やっぱりＣｖしかない。「みかけの比熱」というのは説明に使う言葉であり、専門用語ではないので多用しないほうがいいけど）

お礼

どうもありがとうございます。Cvってのは体積変化がないときどうこうじゃなくて、気体がした仕事分を考えずに純粋に内部エネルギーが温度変化によってどのくらい増えるか減るかを考えているものと読み替えることができるということですね。ひとつ新しい視点ができましてた。ありがとうございました。

回答No.1

siegmund

断熱過程の問題ではなくて，Cv の定義の問題です．

まず，比熱 C の定義は，dQ の熱量を与えたときに dT だけ温度が上昇したとすると
(1)　　C = dQ/dT
です．
ただし，どういう量を一定にして熱を与えたかを明確にしないといけません．
で，定積比熱 C_v はもちろん体積一定(すなわち，dV = 0)です．
つまり
(2)　　Cv = (dQ/dT)_V
です．_V は体積一定の比のつもり(下付の V)．
で，今は仕事として圧力下での体積膨張だけを考えていますから
(3)　　dQ = dU + dW = dU + P dV
ですから，V 一定(dV = 0)では
(4)　　dQ = dU　　(V 一定)
です．
したがって，(2)から
(5)　　C_v = dU/dT
あるいは
(6)　　dU = C_v dT

お礼

回答ありがとうございます。
体積一定のとき
　dU=Cv*dT
となるのはわかるんです。
しかし断熱過程では体積が変化するのだからdV≠0ではないのですか？
質問の8行目の式もdV≠0としてると思うのですが。

dV=0を仮定した
　dU=Cv*dT
という式がdV≠0を仮定している式の中にあるとはならないのでしょうか。