熱力学の問題を教えてください。

質問

1molの理想気体が図のようにA(P1,V1,T1) B(P2,V2,T1) C(P3,V2,T2)をA-B-C-Aの順に一周しる循環過程での問題です
過程(1)　A-Bは等温変化、
過程(2)　B-Cは定積変化,
過程(3)　C-Aは断熱変化とする。
このときの定積モル比熱をCv,定圧モル比熱をCp、比熱比をγとおいたとき

(i)C-Aの断熱過程で最初のAの状態に戻ることが可能となるために取らなくてはならないC点での圧力P3が満たすべき条件

(ii)A-B-C-Aの１サイクルでの吸収される熱量

を求める問題です。

(i)はPV^γが一定という条件くらいしか私は浮かばないのですがあっているのでしょうか？

(ii)はΔU=Q＋W(される仕事)なので
過程(1)は等温変化でΔU=0
Q(1)＝P2V2-P1V1

過程(2)は
Q(2)=1*Cp*(T2-T1)

過程(3)は断熱だから
Q(3)＝０

を足せばよろしいのでしょうか？

教えてください
よろしくお願いします。

回答No.4

yokkun831

>まだなぜΔU = Qin + Winだとダメなのかがよくわからないです。。。

ダメではありません。現にそれを使っているのにお気づきでないだけです。

ΔU = Qin + Win
等温変化なのでΔU=0
∴0 = Qin + Win
∴Qin = -Win = Wout

このWoutを求めるために仕事の定義
Wout = ∫PdV
を用いたのですよね？

お礼

ありがとうございます。
ようやく理解できました。

等温曲線であるからW=P2V2-P1V1ではだめで
積分で仕事を出さないといけない
というような考え方であっているでしょうか？

回答No.3

yokkun831

>ではΔU=Qin+Winはグラフの線がまっすぐな
定圧変化や、定積変化でしか使えないのでしょうか？

ΔU = Qin + Win

と

Wout = ∫PdV

とは直接のつながりのない独立な法則（定義）です。

前者はどんな場合にも成立する基本法則ですね？
後者はどんな場合にも成立する仕事の「定義」といえます。

お礼

なるほど。ありがとうございます。

おっしゃっていることはわかるのですが
まだなぜΔU = Qin + Winだとダメなのかがよくわからないです。。。
何度も質問してしまい申し訳ありません。

回答No.2

yokkun831

ごめんなさい。まずは訂正。
ln(V2/V2) → ln(V2/V1)

>問題文ではRが与えられていないのですが、
回答にRを使ってもよろしいのでしょうか？

なるほど，与えられている条件を精査しませんでした。

等温曲線上で
P1V1 = PV
∴P = P1V1/V
∴Wout = ∫PdV = P1V1ln(V2/V1)

>また仕事を求めるときはなぜΔU=Q＋Wでなく
積分で求めなければならないのでしょうか？

もちろんΔU=Qin+Winを使います。
ΔU=0より
Qin = -Win = Wout

P=一定ならば
Wout = PΔV
ですが，等温曲線上ではPは変化するために
Wout = ∫[V1～V2]PdV
と積分して等温曲線とV軸で挟まれた面積を求めなければなりません。

お礼

すばやい回答ありがとうございます。

曲線のときは積分をつかうのですね。
ではΔU=Qin+Winはグラフの線がまっすぐな
定圧変化や、定積変化でしか使えないのでしょうか？
的外れな質問でしたらすみません。(..;)

回答No.1

yokkun831

>(i)はPV^γが一定という条件くらいしか私は浮かばないのですがあっているのでしょうか？

よいと思います。

P1V1^γ = P3V2^γ
∴P3 = (V1/V2)^γ・P1

>(ii)はΔU=Q＋W(される仕事)なので
過程(1)は等温変化でΔU=0
Q(1)＝P2V2-P1V1

そうはいきません。

PV = nRT1
∴P = nRT1/V
Qin = Wout = ∫[V1～V2] PdV
= nRT1∫[V1～V2] dV/V
= nRT1 ln(V2/V2)

となると思います。

また，(ii)の題意が１サイクルにおける外部からの吸熱をさしているのであれば，おっしゃる流れでよいのですが，放熱を加味しない高温熱源からの吸熱量をさすのであれば，上記のQinのみになります。

お礼

回答ありがとうございます。

問題文ではRが与えられていないのですが、
回答にRを使ってもよろしいのでしょうか？

また仕事を求めるときはなぜΔU=Q＋Wでなく
積分で求めなければならないのでしょうか？
高校までしか物理をやっていなかったためそこらへんがよくわかりません（×_×）。

よろしくお願いします。