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大学の熱力学の問題です。

(1)定積比熱がC(T) = A + BT で与えられる物質がある(A;B > 0)。これを2つ用意 し、それぞれ温度T1; T2(ただしT1 > T2) にした後で2つを断熱材で覆って体積一 定のまま放置した。十分時間がたったあとの2つの温度を求めよ。 (2)定積比熱が広い温度範囲でC(T) = A/T で与えられる物質がある。これを2つ用意し て(1)と同じ実験を行なったとき到達する温度を求めよ。 (3)単原子分子NA 個よりなる理想気体A と2原子分子NB 個よりよりなる理想気体B がひとつのシリンダー(体積V) に密閉されている。シリンダーは熱を通すピストン で2つに仕切られている。 はじめ気体A は温度T1, 気体B は温度T2 で(ただし T1 > T2) ピストンは固定されていた。シリンダー全体を断熱材で覆ってピストンの 固定をはずし十分時間がたった後の理想気体A の内部エネルギーを求めよ。ただし 単原子(2原子)分子理想気体の比熱は一分子あたり3/2kB( 5/2kB) であることを利用 せよ。

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  • 物理学
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(1)Aが放熱したのをBが受け取ります。定積での熱の移動は∫CvdTです。比熱がJ/K/molで与えられたとしたらA, Bは等モルと考えます。 -∫(T1→T)(A+BT)dT=∫(T2→T)(A+BT)dT・・・(1) です。これより -A(T-T1)-(1/2)B(T^2-T1^2)=A(T-T2)+(1/2)B(T^2-T2^2) BT^2+2AT-AT1-AT2-(1/2)BT1^2-(1/2)BT2^2=0・・・(2) を得ます。これを解けば T=(-2A±√2√Δ)/2B・・・(3) となります。ここで Δ=(T1^2+T2^2)B^2+2(T1+T2)AB+2A^2・・・(4) です。(3)の±でマイナスと採るとTが負になるのでプラスを採ります。 (2)上と同じやり方で -∫(T1→T)(A/T)dT=∫(T2→T)(A/T)dT・・・(5) -Aln(T/T1)=Aln(T1/T)=Aln(T/T2) T1/T=T/T2 T=±√(T1T2)・・・(6) です。プラスマイナスありますが、勿論プラスの方を採ります。 (3)理想気体の内部エネルギーは温度(とモル数)だけで決まります。初期状態ではkをBoltzmann定数として Ui=(3/2)kNaT1+(5/2)kNbT2・・・(7) 終りの状態では Uf=(3/2)kNaT+(5/2)kNbT・・・(8) です。エネルギーはこの過程で外部には逃げませんからUi=Ufです。これより T={(3/2)NaT1+(5/2)NbT2}/{(3/2)Na+(5/2)Nb}・・・(9) を得ます。終状態でのAの内部エネルギーは Ua=(3/2)kNaT =(3/2)kNa{(3/2)NaT1+(5/2)NbT2}/{(3/2)Na+(5/2)Nb}・・・(10) ということになります。

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  • uen_sap
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アレレ基礎の基礎 1) A*(T1-Tm) + B/2 * (T1^2-Tm^2)=A*(Tm-T2)+ B/2 * (Tm^2-T2^2) 要するに移動したエネルギー量を同じとしたわけです。 これをTmについて解けば良い。 以下略

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