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定積比熱と定圧比熱とボルツマン定数の関係

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シリンダー内にn(>>1)個の分子からなる理想気体が入っている。その気体の圧力、体積および絶対温度をそれぞれP、VおよびTとすると、PV=nkTの関係が成り立つ。ここでkはボルツマン定数である。

(1)圧力一定の条件で外部から微小熱量d'Qをゆっくり与えることにより、体積がdV増加し内部エネルギーUもdUだけ増加したものとする。d'Q、dVおよびdUの関係式を書け。

(2)体積一定の条件で温度を微小変化させ熱量d'Qを与える過程から分子1個あたりの定積比熱c_V(cに下付きでV、以下、下付きの文字の前には_を付けることとする)が定義される。定義式より熱量の項d'Qを消去し、c_Vをn,V,TおよびUを用いて表せ。

(3)圧力一定の条件で温度を微小変化させ熱量d'Qを与える過程から分子1個あたりの定圧比熱c_Pが定義される。定義式より熱量の項d'Qを消去し、c_Pをn,k,P,TおよびUを用いて表せ。

(4)理想気体の内部エネルギーは温度のみの関数である事実を用い、(1)~(3)で求めた式よりc_V,c_Pおよびkの間の関係式を求めよ。



(1)は、熱力学第一法則より、d'Q=dU+PdVということが分かりました。

(2)に関しては、定積なのでd'Q=dUとなり、c_V=(1/n)(d'Q/dT)_V=(1/n)(dU/dT)_Vということまでは分かったのですが・・・このままではダメですよね?実際に積分して、U=n・c_V・T+U_0(U_0は積分定数)としても、問題文にあるVを使っていないことになりますし・・・

(3)に関しても、(2)と同じでよく分かりません。c_P=(1/n)(d'Q/dT)_P=(1/n)((dU+PdV)/dT)_Pから、どうしたらいいのか…。dVはあるし、kは用いてないしで・・・。

結局のところ、(2)(3)が明確に分からないため、(4)も解けません。

どなたか、ご教授のほど、本当によろしくお願いします。
かなり色々な熱力学に関する本を読んでみたのですが、(2)(3)の解き方が分かりません・・・

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ベストアンサー率 55% (63/113)

>(2)に関しては、定積なのでd'Q=dUとなり、c_V=(1/n)(d'Q/dT)_V=(1/n)(dU/dT)_Vということまでは分かったのですが・・.。

いいと思いますよ。正確には偏微分ですので
nCv=(∂U/∂T)v (nは右辺の方がいいですが、見にくいのでこうしました)

>(3)に関しても、(2)と同じでよく分かりません。c_P=(1/n)(d'Q/dT)_P=(1/n)((dU+PdV)/dT)_P

もう少しですね。
((dU+PdV)/dT)_P=(dU/dT)_P+P(dV/dT)_P
とできるので、第2項は状態方程式を考えるとボルツマン定数とnで表せるはずです。

以上を考えた後、(4)も挑戦してみてください。
ヒント:理想気体の内部エネルギーはTのみに依存するので、圧力一定でも体積一定でもΔTが同じならΔUも同じはず
お礼コメント
xcdfnmtg

お礼率 63% (42/66)

全問分かりました!!

本当に助かりました!!

本当に、本当にありがとうございます!!


(2)に関しては、確かに本来変数であるVを定数とし、内部エネルギーは
温度にのみ依存するとしているので、偏微分ですね(^^;)

(3)に関しては、((dU+PdV)/dT)_P=(dU/dT)_P+P(dV/dT)_Pとし、第2項
に対して状態方程式を考えると、P(dV/dT)_P=nkとなり、問題に沿った答えになりました!この助言、本当に助かりましたm(_ _)m

(4)のヒントも助かりました。
答えはc_P-c_V=kとなりました。

この問題は、なかなか頭の中が整理できず、苦戦してました。

的確なアドバイス、本当にありがとうございました!!
投稿日時:2007/07/24 16:03
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