標準偏差ひとつぶんとはどういう意味？

質問

正規分布において標準偏差ひとつぶんをとる、という表現がでてきたのですが、
抽象的過ぎてよくわかりませんでした。「標準偏差ひとつぶん」とは、どういう
いみなのでしょうか？

みっつぶんをとる、という表現までみかけたのですが、よっつぶんやいつつぶん
をとるようなこともできるのでしょうか？

回答No.1

hue2011

標準偏差って、ごく日常の用語でいったら何ですか。

まあブレですかね。ばらつきといったりもしますね。

たとえば100人の人間の試験結果を集計したら、平気として70点だったとします。
だけど全員が70点だという意味じゃないですね。
90点取った人間もいれば50点のもいるし、ときには0点というのがいるかもしれないけど、平均すれば70なんです。
もしひとり0点の人間がいたら、それはひとりで平均を1点下げましたね。この計算いいですね。
標準偏差というのは、この70点に対して±どの程度の中に人間が入っているかという話です。

極端な例でいうとわかりやすいけど、全員が一人残らず70点取った場合の標準偏差はいくつですか。
0ですね。まったくばらつかないデータです。

1番目の生徒が1点、2番目が2点、というように全員違う点数をとって100番目の人間が100点とったとします。
平均は50，0点ですが、標準偏差は70点です。

平均から±で標準偏差を考えたらどうなりますか。
マイナスすると-20点、プラスすると120点です。
ほとんど統計データの意味はないということですね。つまり傾向が見えないということです。
ひとりひとりが1点差で成績をとるなんていうことが、それ自体を目的として意見を合わせない限りできないので、当然です。
そもそも、たとえばきっちり49点取れる答案なんて生徒は書きようがないから、当然採点者である教師の不正です。
これは「やらせ」データということになりますから、データとしての意味はないのです。

この２つの例を覚えておいて以下の説明を読んでください。

さて、正規分布の話ですが、平均値から標準偏差で±したらどうなりますか。
これが標準偏差ひとつ分です。

普通本に書いてあると思いますから結論をいえば、全体の95%がこの範囲内に収まるのですね。
つまり、標準偏差ひとつ分で仕切ればほとんどの事象を把握しているという統計データになっているわけです。

ひとつ分やって枠をはみ出したら、すでにそのデータは意味がないデータだということになります。
ひとつ分やっても95%にならない場合は、正規分布ではありません。
この場合標準偏差ふたつ分とか三つ分という切り方をしてみますが、三つ分までいくと、それがまともなデータだという詭弁を考えるための小細工のレベルになります。
四つはあり得ません。三つも本来ないものとしてかまわないですよ。

いずれにせよ、正規分布であるという仮定で考えたら解析は不毛であるということになります。

ひとつ分で95%どころではなくほぼ全部を含んでいる場合がある。
ポアッソン分布だとかおそろしく切り立ったものの場合これが起きます。全員が同じ点数の場合というのに近いことになる。
こういうことが起きていると正規分布だと仮定したことが間違いであるデータだという判断になります。

なお、実際の観測データの解析の場合、あまり標準偏差一つ分とかそういう考え方はしない。
ものごとは「スペクトル」という考え方でとるからで、その時の観点は「半値幅」です。
縦軸のピークの半分のところに線を引いた場合、横軸でいうとどの程度の幅かという考えかたをします。
その幅内にあるデータが全体の物性のマジョリティを示していると考えるのです。
これが広すぎたら、分布としてはあまり意味のない観測をしていると思います。狭ければ喝采し喜びます。

お礼

標準偏差がブレの平均だというのは分かるのですが、後半、抽象的なことがでてきてよくわかりませんでした。まとめますと、標準偏差ひとつぶんとは、標準偏差と平均の差、ということになるのでしょうか？　ふたつぶんなら、その２倍であると？