正規分布の標準偏差

質問

「質問」
下記の画像に記述されている標準偏差の意味がわかりません。

「質問の経緯」
標準偏差や分散の意味については理解できているつもりです。
下記の画像の赤線の部分には正規分布nの分散は120^2
と書かれています。なので当然標準偏差は120です。
ところが、この後標準偏差を無作為標本の標本数で割っています。
正規分布の標準偏差を無作為標本の標本数で割った数のことを
標準偏差と書いているようなのですが、ここについてよく分かりません。

「質問のまとめ」
正規分布の標準偏差を標本数で割った数字を改めて
標準偏差としている意味がよく分かりません。
教えてほしいです。

回答No.2

noname#258756

補足に対して：

①
>通常偏差積の和を標本数で割るが分散でしたよね。なぜこの場合においてはn^2乗のがかよく分かりません。

一般に確率変数Xに定数aをかけたaXの分散はa^2×(Xの分散)に等しいから。なぜならXの期待値をmとおくときaXの期待値はamだから、Var(aX)=E[(aX-am)^2]=E[a^2×(X-m)^2]=a^2×E[(X-m)^2]=a^2×Var(X)だから。

今回の場合X=X_1+...+X_n、a=1/nと考える。X=X_1+...+X_nの分散はn×母分散（母分散とは各X_iの分布の分散のこと）、a^2=1/n^2なので先の回答のようになります。

補足にある「～の和を標本数でわるのが分散」というのは標本分散の話ではないでしょうか。ここでは1つの確率変数（具体的にはM=(X_1+...+X_n)/nという確率変数）の分布の分散、すなわち平均との差の二乗の期待値（具体的にはE[(M-1500)^2]）として定義された分散の話をしています。

②
>中心極限定理をしっかりと理解するのは結構難しいのでしょうか。

はい、結構難しいです。しかし今回の質問に関していえば、「標本平均の分散が（定数）/nの形になっている」、いいかえると「標本平均の標準偏差が（定数）/√nの形になっている」ということなので、まずはnが大きくなるとき「標本平均の散らばりがゼロに収束する」すなわち「標本平均が母平均に収束する」ことと関連していて、中心極限定理よりもまず大数の法則の現れであることの理解が先にくるのが自然です。大数の法則の様子をもっと細かく分析するために、ゼロに収束していく標本平均と母平均の差を√n倍だけ拡大して眺めようというのが中心極限定理の考え方です。

回答No.1

noname#258756

＞正規分布の標準偏差を標本数で割った数字を改めて標準偏差としている意味がよく分かりません。

正確には、標本サイズの平方根でわった値ですよね。

その式の分母は分子M-1500の標準偏差。同じことだが標本平均Mの標準偏差。サイズnの標本の標本平均の分散は（母分散）/nです。その平方根をとったのが分母なのです。注：この例では母分散=120^2。

なぜ標本平均の分散が（母分散）/nなのかというと、まずMの分子X_1+...+X_nの分散はn×母分散（独立な変数の分散は各変数の分散の和に等しいから）。他方、分散を計算するとき分母のnは2乗されてn^2になる。よって標本平均の分散はn×母分散/n^2=母分散/nになる。

補足

回答ありがとうございます。
質問文と改めて参考書を読み返したところ
この定理は中心極限定理だったことに気づきました、、

①
>>他方、分散を計算するとき分母のnは2乗されてn^2になる。

この部分についてがよく分かりません。
通常偏差積の和を標本数で割るが分散でしたよね。
なぜこの場合においてはn^2乗のがかよく分かりません。

②wikiを読んだたのですが
知らない記号などを用いた私には難しく
感じる証明が書かれていました。中心極限定理
をしっかりと理解するのは結構難しいのでしょうか。
私には数学の素養がほとんどないので
理解する難易度が高いようであれば
一旦理解を諦めようと考えています。