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ジョルダン開曲線の存在の証明はこれで正しい?
jcpmuturaの回答
- jcpmutura
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aとb_1を結ぶ線分が ジョルダン開曲線となり、 ジョルダン開曲線の存在の証明は完了となるのにもかかわらず b_2,b_3,…と余分な中間点をとっているため、 b_1とb_2を結ぶ曲線A_1と b_2とb_3を結ぶ曲線A_2が 交わらないでA_1∪A_2が単射となるという 保証がなくなってしまうため正しくありません。 実際、添付の図のようにA_1,A_2をとれば b_1とb_2を結ぶ(赤)曲線A_1と b_2とb_3を結ぶ(青)曲線A_2が 交わり重なってA_1∪A_2が単射ではありません n次元複素空間C^n の任意の2点 a,b∈C^n を結ぶ線分 Γ:[0,1]→C^n Γ(t)=(1-t)a+tb がジョルダン開曲線となり、 C^nでのジョルダン開曲線の存在の証明は完了となるので その「長い証明」の必要はありません。 DをC^nの空でない連結な開集合とする Dの任意の2点 a,b∈D に対して Γ:[0,1]→D Γ(0)=a Γ(1)=b となるジョルダン開曲線Γが存在する事の証明) ジョルダン開曲線で結ばれない2点があると仮定する a_0∈Dとする a_0とDにおける ジョルダン開曲線で結ばれる点全体の集合をD_1とし ジョルダン開曲線で結ばれない点全体の集合をD_2とし a_0∈D_1だからD_1≠φ ジョルダン開曲線で結ばれない2点があると仮定したのだから D_2≠φ D=D_1∪D_2 D_1∩D_2=φ aをD_1の任意の点とすれば, a_0とaを結ぶDにおけるジョルダン開曲線Γ_1が存在する a∈DでDはC^nの開集合だから B[a,ε)⊂Dとなる球体B[a,ε)がある そのときxをB[a,ε)の任意の点とすれば aとxを結ぶ線分axはB[a,ε)に含まれるから Γ_2(t)=(1-t)a+tx∈B[a,ε) 線分axもDにおけるジョルダン開曲線Γ_2で、したがって Γ_1∪Γ_2 はa_0とxを結ぶDにおけるジョルダン開曲線となる。 したがって x∈D_1 ∴B[a,ε)⊂D_1 よって D_1はC^nの開集合である. 次に a'をD_2の任意の点とすれば B[a',ε')⊂Dとなる球体B[a',ε')がある その時,もしB[a',ε')の点x'で a_0とDにおけるジョルダン開曲線で結ばれるものがあれば, そのジョルダン開曲線と線分a'x'とをつなげたものは a_0とa'を結ぶDにおけるジョルダン開曲線となるが それはa'∈D_2である事に矛盾する ゆえに,B[a',ε')のどの点もa_0とDにおける ジョルダン開曲線で結ぶ事はできない B[a',ε')⊂D_2 よって D_2はC^nの開集合である. D=D_1∪D_2,D_1開,D_2開,D_1≠φ,D_2≠φだから Dは連結でない事となって Dが連結である事に矛盾するから Dの任意の2点 a,b∈D を結ぶジョルダン開曲線が存在する
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お礼
ご回答誠に有難うございます。ジョルダン開曲線の存在証明は大変参考になりました。 本件は開領域にジョルダン開曲線が引けるかという疑問よりも 下記のようにγ(b_1,b_2)→γ(b_2,b_3)→… と繋げていってΓ(1):=aと定めたらこのΓはb_1からaへのジョルダン開曲線になるかという疑問のために投稿したのですした。 混乱させてしまいましてすいません。もう一回仕切り直しをさせてください。 『特にγ(b_j,b_{j+1})の長さをlとすると,Γ:[1/j,1/(j+1)]→γ(b_j,b_{j+1})を Γ(1/j)+(1/(j+1))/2):=lの中間点, : 如何でしょうか?』 の箇所は取り消しします(余計でした)。 そして下記は誤植の訂正です。 『同様に,B[a,1/3)＼B[a,1/5]＼γ(b_1,b_2)＼γ(b_2,b_3)も開領域なのでb_2を始点としb_3を終点とする連続曲線γ(b_3,b_4)が採れますよね。』 ↓ 『同様に,B[a,1/3)＼B[a,1/5]＼γ(b_2,b_3)も開領域なのでb_3を始点としb_4を終点とする連続曲線γ(b_3,b_4)が採れますよね。』 その上で, Γ:[0,1]→C^nを次のように定義したら Γ(0):=b_1, Γ(t):=(∪_{j=1..∞}γ(b_j,b_{j+1}))＼{b_1} (z∈(0,1)の時), Γ(1):=a とするとこのΓはb_1からaへのジョルダン開曲線になりますでしょうか?