ジョルダン開曲線の存在の証明はこれで正しい?

質問

確認させて戴きたいことが有ります。

n次元複素空間C^nに於いて,
a∈C^nに対して,B[a,1/k):={z∈C^n;|z-a|<1/k} (k∈N)を中心をaとする半径1/kの開n次元球体,
,B[a,1/k]:={z∈C^n;|z-a|≦1/k} (k∈N)を中心をaとする半径1/kの閉n次元球体と呼ぶ事にする。
B[a,1)＼B[a,1/2]≠φなのでb_1∈B[a,1)＼B[a,1/2]という適当な一点が取れる。
続いてb_2∈B[a,1/2)＼B[a,1/3]という適当な一点が取れる。
この時,B[a,1)＼B[a,1/3]は開領域なのでb_1を始点としb_2を終点とする連続曲線γ(b_1,b_2)が採れますよね。
同様に,B[a,1/2)＼B[a,1/4]＼γ(b_1,b_2)も開領域なのでb_2を始点としb_3を終点とする連続曲線γ(b_2,b_3)が採れますよね。
同様に,B[a,1/3)＼B[a,1/5]＼γ(b_1,b_2)＼γ(b_2,b_3)も開領域なのでb_2を始点としb_3を終点とする連続曲線γ(b_3,b_4)が採れますよね。
:
これらの連続曲線を順に繋いでいって,
∪_{j=1..k}γ(b_j,b_{j+1})とするb_1を始点としb_{k+1}を終点とする連続曲線γ(b_1,b_{k+1})がえんえんと伸ばせますよね(∵選択公理)。
勿論,lim_{k→∞}b_k=aとなりますね。

そこで本題ですが,

{a}∪(∪_{j=1..∞}γ(b_j,b_{j+1}))はb_1を始点としaを終点とする連続曲線γ(b_1,a)が採れると思います。

その際,Γ:[0,1]→γ(b_1,a)はという媒介変数t∈[0,1]を用いたb_1を始点としaを終点とする連続曲線ですよね?

各γ(b_j,b_{j+1})は有限の長さなので(∵γは連続写像なのでコンパクト集合[0,1]の像もコンパクトになる)
Γ:[0,1]→{a}∪(∪_{j=1..∞}γ(b_j,b_{j+1}))
を
Γ:[0,1/2]→γ(b_1,b_2); Γ(0):=b_1, Γ(1/2):=b_2,
Γ:[1/2,1/3]→γ(b_2,b_3); Γ(1/2):=b_2, Γ(1/3):=b_3,
:
Γ:[1/j,1/(j+1)]→γ(b_j,b_{j+1}); Γ(1/j):=b_j, Γ(1/(j+1)):=b_{j+1}
:

と定義すれば宜しいかと思います。

特にγ(b_j,b_{j+1})の長さをlとすると,Γ:[1/j,1/(j+1)]→γ(b_j,b_{j+1})を
Γ(1/j)+(1/(j+1))/2):=lの中間点,
Γ(1/j)+(1/(j+1))/3):=lを3等分した始点から1/3の地点,
:

という風に定義するとΓは全単射になると思います。如何でしょうか?

回答No.5

jcpmutura

すみません。(定理2)は誤りなので取り消します
あらためて
γ_kを次のように定義します

D={z||b_k-a|>|z-a|>|z-b_{k+1}|}
x=a+{1/(k+1)}(b_k-a)/|b_k-a|
y=a+{1/(k+1)}(b_{k+1}-a)/|b_{k+1}-a|
とすると
|b_k-a|>|x-a|=|y-a|=1/(k+1)>|b_{k+1}-a|
だから
線分(b_k)x上の点でb_k以外はD内の点
{(b_k)x}-{b_k}⊂D
線分(b_{k+1})y上の点でb_{k+1}以外はD内の点
{(b_{k+1})y}-{b_{k+1}}⊂D
だから
D内でx,yを結ぶジョルダン開曲線γがある
線分(b_k)xとγの共通部分
γ∩{(b_k)x}は閉だからb_kに最も近いx_k∈γ∩{(b_k)x}がある
線分(b_{k+1})yとγの共通部分
γ∩{(b_{k+1})y}は閉だからb_{k+1}に最も近いy_k∈γ∩{(b_{k+1})y}がある
D内でx_k,y_kを結ぶジョルダン開曲線γ'⊂γがある
γ'∩{(b_k)(x_k)}={x_k}
γ'∩{(b_{k+1})(y_k)}={y_k}
だから
γ_k={(b_k)(x_k)}∪γ'∪{(b_{k+1})(y_k)}
はb_k,b_{k+1}を結ぶジョルダン開曲線となる

お礼

遅くなりまして大変申し訳ありません。ちょっと混乱中です。

Noで線分ではないと旨を承知しました。

一直線上に並んでようが

>> B[a,|b_k-a|]＼B[a,|b_{k+1}-a|)
> これで考えるとこの閉包は連結なのでb_kとb_{k+1}とを結ぶジョルダン開曲線が
> 引けて二つ目の画像のようなケースは避けれるのですね。

から,No2のケースを避けれるジョルダン開曲線γ_kが任意のkに対して引けちゃうので,
わざわざ,具体的にγ_kを定義してあげなくても,後は,

> Γ:[0,1]→C^n
> k∩Nに対して
> (k-1)/k≦t<k/(k+1)の時
:
> となるジョルダン開曲線となります

で証明は終りになるのではないでしょうか?