ベクトル解析

質問

曲線Cを　ｒ(t) = (sin πt , cosπt) (1<=t<=2)で与えられる。

(1)曲線Cの概形を描く。ただし、始点t=1と終点t=2の位置も明記

(2)曲線Cの長さ　L　を線積分で求める。

(3)質点が力F=(y,0)を受けながら曲線Cに沿って始点から終点まで動いたとき、この力が質点になした仕事の総量Wを求める。

どれか１つでも分かる方がいらっしゃいましたら
宜しくお願いします。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

(1)
高校の範囲です。三角関数の導入部。
弧度法さえ解れば、中学生でも。

要するに、半円です。

(2)
算数の範囲です。
あ、積分するのか… なら、高校の範囲。

∫|dr| を、地道に成分計算しましょう。

∫|dr|
= ∫|dr/dt|dt
= ∫√{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}dt
= ∫[t=1→2]√{(πcosπt)^2+(-πsinπt)^2}dt
= π∫[t=1→2]dt
= π.

(3)
これは一応、大学範囲かな？
ベクトル解析と呼ぶのも、大袈裟だけど。
昔は、高校物理で習ったんですけどね。

∫F・dr を、地道に成分計算しましょう。
この・は、内積です。

∫F・dr
= ∫{F・(dr/dt)}dt
= ∫{(y,0)・(dx/dt,dy/dt)}dt
= ∫{y(dx/dt)}dt
= ∫[t=1→2]{(cosπt)(πcosπt)}dt
= (π/2)∫[t=1→2]{1 + cos2πt}dt
= π/2.

お礼

わかりやすい解答ありがとう御座います。