場合の数と サイコロと野球等の対戦表

質問

問
「大小２つのサイコロを投げて、出た目の和が３の倍数になる場合の数を調べたい。」

昔から腑に落ちないのですが、
これと野球などのリーグ戦の対戦表です。
巨人と阪神は対戦しますが、巨人と巨人は対戦しません。
だからリーグ戦の対戦表は、真ん中は斜め線が入っています。
これは理解できます。

が、２つのサイコロを振ったときの表は、「１,１」=２として表に入っています。
斜め線ではありません。
そこまでは理解できます。

しかし、「３と６」だと、「６と３」のように、２回記載されています。
大サイコロ３、小サイコロ６
大サイコロ６、小サイコロ３
二つのケースですね。

が、
大サイコロ１、小サイコロ１
大サイコロ１、小サイコロ１
は区別されずに１回だけ記載されています。
これはなぜなのでしょうか？

大小区別しているからなのでしょうか？
区別しなかったらどうなのでしょうか？

サイコロ２つを振ると、６×６で３６通りの目。
６×６＝３６通り＋６通りで４２通りということはありえないのでしょうか？
「大１,小１」と「小１と大１」を区別する。

ちなみに６チームのリーグ戦だと３０試合。
３６－６だと思います。
なにかこの辺にヒントがありそうなのですが、頭がこんがらがって分かりません。

大小区別しなければ（重複をゆるさない）、サイコロ二つなら、
１５＋６＝２１通りということはないのでしょうか？

回答No.6

chie65536（@chie65535）

＞たぶん私は、「一１」と「１一」を別物として1回ずつカウントしたいのです。
＞理由は分かりませんが、するものだという意識が根底にあります。

「一１」と「１一」を別物として1回ずつカウントする、と言うのは、「最初に大のサイコロを振って、次に小のサイコロを振る」という事象と「最初に小のサイコロを振って、次に大のサイコロを振る」という事象を「別の事象」としてカウントしてしまっているのです。

つまり「振る順番を大→小の順で振るか、小→大の順で振るかで、別の事象として捉えてしまっている」のです。

「順番が違えば、違う事象として捉える」のであれば「一１」と「１一」は「一が出た後に１が出る」と「１が出た後に一が出る」という「異なった事象」になるので「別々にカウント」しないといけません。

問題文に

大小２つのサイコロを投げて、出た目の和が３の倍数になる場合の数を調べたい。但し、大小のサイコロを振る順番は考えず、順番は無視する事とする。

というように「順番は無視しますよ」と言う但し書きを付ければ「一１」と「１一」は「同じ事象」として「１つにカウント」する筈です。

お礼

回答ありがとうございます。

順番を意識した場合ですね。
そういう設定はありうるわけですね。

腑に落ちました。
ありがとうございます。

回答No.5

chie65536（@chie65535）

＞ということは、
＞ 「大２，小３」が出る確率と、
＞ 「１、１」が出る確率は、
＞ 「１、１」が出る方が倍ということで良いのでしょうか？

違います。

大小を区別する場合は、「二３」が出る確率も「一１」が出る確率も、どちらも「３６分の１」です。

大小を区別できない場合は「２３（と３２）」が出る確率は「１８分の１（３６分の２）で、「１１」が出る確率は「３６分の１」です。

回答No.4

f272

#1です。

> 「大２，小３」が出る確率と、
> 「１、１」が出る確率は、
> 「１、１」が出る方が倍ということで良いのでしょうか？

その通りです。場合の数ではなく，確率で考えると36通りと数えないと同じ確率にはなりません。

お礼

これが大小を区別する場合ですね。
ありがとうございます。

回答No.3

chie65536（@chie65535）

＞大サイコロ３、小サイコロ６
＞大サイコロ６、小サイコロ３
＞二つのケースですね。
＞が、
＞ 大サイコロ１、小サイコロ１
＞ 大サイコロ１、小サイコロ１
＞は区別されずに１回だけ記載されています。
＞これはなぜなのでしょうか？

大サイコロの出目を「漢数字」で書いて、小サイコロの出目を「アラビア数字」で書いてみましょう。

組み合わせは、以下の３６通りあります。

一１、一２、一３、一４、一５、一６、
二１、二２、二３、二４、二５、二６、
三１、三２、三３、三４、三５、三６、
四１、四２、四３、四４、四５、四６、
五１、五２、五３、五４、五５、五６、
六１、六２、六３、六４、六５、六６

＞しかし、「３と６」だと、「６と３」のように、２回記載されています。

違います。上記の「３６通りの表には「三６」は１回しか記載されてませんし、「六３」も１回しか記載されていません。同様に「一１」も１回しか記載されてません。

「六は６ではないし、三は３ではないし、一は１ではない」と言う事に注意して下さい。「漢数字で書かれた事象」と「アラビア数字で書かれた事象」は「異なる事象」なのです。

つまり「どれも１回しか記載されていないのに、２回記載されていると勘違いしているだけ」なのです。

３６個ある組み合わせのどれも、すべて「１回しか記載されてない」という事に注意して下さい。「六３」も「三６」も「一１」も「一回だけしか記載されてない」のです。

＞大小区別しなければ（重複をゆるさない）、サイコロ二つなら、
＞１５＋６＝２１通りということはないのでしょうか？

大小を区別しないなら（まったく同一の形状のサイコロを同時に２個振るなら）

一１、一２、一３、一４、一５、一６、
二１、二２、二３、二４、二５、二６、
三１、三２、三３、三４、三５、三６、
四１、四２、四３、四４、四５、四６、
五１、五２、五３、五４、五５、五６、
六１、六２、六３、六４、六５、六６

ではなく

１１、１２（２１）、１３（３１）、１４（４１）、１５（５１）、１６（６１）、
２２、２３（３２）、２４（４２）、２５（５２）、２６（６２）、
３３、３４（４３）、３５（５３）、３６（６３）、
４４、４５（５４）、４６（６４）、
５５、５６（６５）、
６６

の２１通りになってしまいます。

この場合は「３６」と「６３」が「区別できない」ので、つまり「どちらの事象が発生しても結果が同じに見える」ので、「３６と６３で２回記載されているように見える（「見えるだけ」で、本当はどちらも１回しか記載されてない）」のです。

お礼

アラビア数字、漢数字、解りやすかったです。ありがとうございます。
どうみても36とおりですね。

そして、区別できないサイコロだと２１通りなんですね。
見分けがつかないから２１通り。
本当は36通りだけど、見分けがつかないので２１通り。

だから、これらの問題は、「大小」とかで表現されているケースが多いのですね。

補足

＞「六３」も「三６」も「一１」も「一回だけしか記載されてない」のです。

たぶん私は、「一１」と「１一」を別物として1回ずつカウントしたいのです。
理由は分かりませんが、するものだという意識が根底にあります。

でもそれだと、「六３」は「３六」
「三６」は「６三」と、4回カウントすることになってしまいます。
それはおかしいことですが、
「一１」「１一」ではおかしいという理由が、まだ完全にはわかっていないようです。

六３、三６の時は、大小のサイコロは区別されているのに、
「一１」（ゾロ目）の時だけは、サイコロが区別されていないという感覚です。

回答No.2

Dr_Hyper

誤解のポイントは

「大サイコロ１、小サイコロ１
大サイコロ１、小サイコロ１
は区別されずに１回だけ記載されています。
これはなぜなのでしょうか？」

ここですね。
さいころの目は一つずつしかありません。
例えば５の目に対してもうひとつのさいころは６通りが上限です。
なので最大３６通りです。
あとは，リーグ戦のようにぞろ目（同じチームは除く）のか，
大小をわけないことで，3と６も6と３も同じと見なすのか
などそれぞれの問題で重複を引いていくことになります。
大サイコロ１、小サイコロ１が二種類は現実的にありませんよね?

お礼

ご回答ありがとうございました。

回答No.1

f272

大サイコロ３、小サイコロ６
大サイコロ６、小サイコロ３
これらは区別できるよね。でも
大サイコロ１、小サイコロ１
大サイコロ１、小サイコロ１
これらは区別できません。だから「区別されずに１回だけ記載されています」というのは当然でしょう。
大小を区別しなければ（そして出た目の順番を区別しなければ）
サイコロ３、サイコロ６
サイコロ６、サイコロ３
と
サイコロ１、サイコロ１
サイコロ１、サイコロ１
になって，どちらの場合も区別ができません。
つまり大小区別しないサイコロ二つなら21通りの場合しかありませんよ。(ただしこれは場合の数が21通りと言うことであって，その全てが同じ確からしさで実現するわけではありません。)

お礼

回答ありがとうございます。

自分で書いててよくわかってないのですが、
ということは、
「大２，小３」が出る確率と、
「１、１」が出る確率は、
「１、１」が出る方が倍ということで良いのでしょうか？