連立1次方程式の構成の問題について

質問

3つの変数(a,b,c)を未知とする、連立1次方程式があり、さらに、(b,c,d)を未知数とするもう1つの連立1次方程式があります。未知数としてb,cの部分は重なっていますが、今のままでは２つの連立1次方程式は全く別ものとなっています。しかし、やはりb,cは共通だと考えた場合、今度は(a,b,c,d)を未知数とする4×4の連立方程式を構成して解くということになります。
　つまり、2組の連立1次方程式(３元）から１つの4元の連立1次方程式を作るということになります。この場合、4元連立1次方程式を作る方法は唯一であるはずなのですが、どのように考えたらいいでしょうか。解き方としては逆行列などを作用させて...と考えます。変な行列を作ってしまたら（例えば1つの行が(0,0,0,0)とか）になると逆行列が作れず唯一の解が出ないと思います。でもちょっと考えたら（作り方をまちがえたら？）そうなってしまう可能性があります。このように２つの連立方程式からちょっと大きな別の連立方程式を作って逆行列で解く方法について教えて頂きたいのですが。

なお、3×3は行列式は非ゼロであり、至極無理のないものを考えています。変なマトリックス（係数が10^(-8)とか）は全く想定していません。

最終的にはプログラム化していくことを考えていますが、今はその前段階の考え方についてお尋ねします。

よろしくお願いします。

回答No.6

ddtddtddt

#5です。#1さんと#3さんのお礼を読みました。そういう事ですか。スケーリング後の零判定：10^(-8)という事ですね？。このオーダーは、自分も良く使います(^^)。

　FEMでは、部分マトリックスの重ね合わせが必ず出てきますが、じつは部分マトリックスの重ね合わせは、相手にしている物理系に自然に内在する補助条件を使っています。

　三角形要素(a,b,c)と(b,c,d)を考えますが、FEMで最初に本当にやってる事は、節点(b,c)を共有する2要素ではなく、全く別々の2つの要素(a,b,c)と(b’,c’,d)を考えます。

　1節点に対して1自由度（1未知数）なので速度ポテンシャル問題か何かだと思いますが、節点aに対するポテンシャル値をΦ(a)などで表します。そうすると1要素について節点ポテンシャル値の未知ベクトルは3成分なので、1要素の部分マトリックスは3×3になります。2要素の全体マトリックスKは対角ブロックだけが0でない6×6，未知ベクトルXは6成分です。

　全体マトリックスについて、まず列の重ね合わせを行います。節点はb＝b’，c＝c’でした。当然ポテンンシャル値はΦ(a)＝Φ(a’)，Φ(b)＝Φ(b’)です。b’，c’に関する節点値をΦ(a)，Φ(b)で表す事にして、この条件を全体方程式系に適用すると、全体マトリックスの中で、Φ(a’)，Φ(b’)に対応する列がΦ(a)，Φ(b)に対応する列に重なります。

　Kは6×4になります。
　Xは、(Φ(a)，Φ(b)，Φ(c)，Φ(b’)，Φ(c’)，Φ(d))の6成分から、X＝(Φ(a)，Φ(b)，Φ(c)，Φ(d))の4成分に縮まります。以上は明らかに、ポテンシャル場Φの連続性を表しています。

　次に行の重ね合わせを行います。全体方程式系を、

　　KX＝B　　　(1)

と表した時、右辺のB（6成分ベクトル）はなんでしょう？。Φが速度ポテンシャルなら、Bは節点流速値nを表すはずです。B＝(n(a)，n(b)，n(c)，n(b’)，n(c’)，n(d))。

　節点はb＝b’，c＝c’でした。要素1のcから流出した流量（流速値n(c)）は、cと接する要素2のc’から要素2へ流入しなければなりません（流速値n(c’)）。すなわちn(c’)＝－n(c)で、n(c)＋n(c’)＝0です。bとb’についても、n(b)＋n(b’)＝0です。

（この段階では、境界条件は省略します）

　(1)にこの条件を適用するには、(1)の中で、n(b)が現れる行とn(b’)が現れる行および、n(c)が現れる行とn(c’)が現れる行を足す事になります。そうするとKは4×4となり、BはB＝(n(a)，0，0，n(d))で4成分に縮まります。以上は明らかに、流量保存則（流速場の連続性）を表しています。

　このようにFEMで部分マトリックスの重ね合わせは、相手にしてる物理系ごとにユニークに決まりますが、基本は同じです。そして重ね合わせを行って初めて、全体方程式系が、偏微分方程式が記述する問題状況と同等になります。境界条件を与える必要もあるという事です。

　問題状況を具体的に書いて、物理板で質問した方が明確な答えを得られると思います。

　※　自分もかなりFEMの本を読みましたが、重ね合わせについて明確に語ってくれる本って、あまりないですよね(^^;)。

回答No.5

ddtddtddt

「未知数の数＝式の数」。（1次に限らず）これが解ける連立方程式の基本です。「未知数の数＜式の数」は条件過多問題と言われ、とんでもない幸運に見舞われない限り、普通は「未知数の数＜式の数」となっている全ての条件式を厳密に満たす解は存在しません。

　ところが分野によっては、条件過多は日常茶飯事というところもあります。そこで、何らかの意味で妥当な近似解を得る手段が必要になり、そこに登場するのは大抵、最小2乗型の一般逆行列です。

　今の場合だと、6個の条件を書いた6×4の行列をA、x＝(a,b,c,d)、条件に現れる既知ベクトルをbとすれば、

　　Ax＝b　　　(1)

となりますが、最小2乗の意味での最良解を得るには、(1)の両辺にA^t（^tは転置）をかけ、

　　A^t・Ax＝A^t・b　　　(2)

A^t・Aの逆行列を取ります。要するに(A^t・A)^(-1)が、一般逆行列です（^(-1)は逆行列を表す）。

　まずA^t・Aは、4×6と6×4の行列の積なので、結果は4×4です。A^t・Aが逆行列を持つかどうかは、次のようになります。

　6×4であるAのrankが4以上なら、A^t・Aのrankは必ず4で逆行列を持ちます。Aのrankが3以下なら逆行列を持たず、もともと変な条件だったという事になります。逆行列を持つとすれば、最小2乗近似解は、

　　x＝(A^t・A)^(-1)・A^t・b　　　(3)

です。このxは、残差、

　　|Ax－b|^2　　　(4)

を最小にするもので、(1)～(3)の過程はじつは、最小2乗法の計算そのものになっています。

　ちなみにAのrankが4なら、実質は4×4の正常な条件という事なので、(3)で厳密解が出ます。

回答No.4

178-tall

あらたて、題意の邪推。

{a,b,c,d} の未知セットで [b ; c] = B と略記し、2 つの連立 1 次方程式、
　P1a + P2B = r
　P2a + P3B = S
と、
　Q1c + Q2B = t
　Q2c + Q3B = U
を想定。
両者が連立するには、個別に解いたときに B は一致せねばならぬだろう。
その条件を求めたい。

… ということ？

回答No.3

Water_5

３元連立方程式【Ｘ１、Ｘ２、Ｘ３】
と別の３元連立方程式【Ｘ２、Ｘ３、Ｘ４】から４元連立方程式を作りたいようだが

それは無駄。意味がない。

（Ａ）群から【Ｘ１、Ｘ２、Ｘ３】が解けるし

（Ｂ）群から【Ｘ２、Ｘ３、Ｘ４】が
解けるからである。

両者が一致している必要があるってどういう意味やねん。

（Ａ）群のＸ２、Ｘ３と（Ｂ）群の
それとは違うだろうが。解いてみればわかるだろうに。違いが。

（Ａ）群
a（１，１）X１＋a（１，２）X２＋a（１，３）X3＝ｂ１・・・・・（１，１）式

a（２，１）X１＋a（２，２）X２＋a（２，３）X3＝ｂ２・・・・・・（１，２）式

a（３，１）X１＋a（３，２）X２＋a（３，３）X3＝ｂ３・・・・・・（１，３）式

----------------------------------------

B群

ｃ（１，１）X２＋ｃ（１，２）X３＋ｃ（１，３）X4＝ｄ１・・・・・・（２，１）式

ｃ（２，１）X２＋ｃ（２，２）X３＋ｃ（２，３）X4＝ｄ２・・・・・・（２，２）式

ｃ（３，１）X２＋ｃ（３，２）X３＋ｃ（３，３）X4＝ｄ３・・・・・・・（２，３）式

---------------------------------------

から、（１，１）式＋（２，１）式＝（３，１）式を生み出す。

同様に（１，２）式＋（２，２）式＝（３，２）式

同様に（１，３）式＋（２，３）式＝（３，３）式
を生み出す。

これで、４元４連立一次法廷式ができる。が
検察側から相当な突込みがあるかもしれんが
たいしたことない。

裁判長：無罪判決（ただし、余計なことは止めるべし）とする」が発せられる。
めでたしめでたし。

お礼

回答ありがとうございます。有限要素法(FEM)という偏微分方程式の数値解法に出てくるのです。(a,b,c), (b,c,d)を三角形の頂点と考えます。２つの三角形は辺(b,c)を共有しています。FEMでは１つ１つの個別の三角形だけを考えて式を作ります。そのあとで全体マトリックスを作ります。
どうやって作るのかなというところで視界不良となったわけですが。作り方がユニークに決まりますかね。いろいろできそうなのですが。

回答No.2

f272

第1の方程式
Aa+Bb+Cc=S
Da+Eb+Fc=T
Ga+Hb+Ic=U
第2の方程式
Jb+Kc+Ld=V
Mb+Nc+Od=W
Pb+Qc+Rd=X
とすれば
(A)a+(B)b+(C)c+(0)d=S
(D)a+(E+J)b+(F+K)c+(L)d=T+V
(G)a+(H+M)b+(I+N)c+(O)d=U+W
(0)a+(P)b+(Q)c+(R)d=X
を作ればいいんじゃないのかな？

回答No.1

178-tall

とりあえずの感触 … 。

変数 (a,b,c) を未知とする「第一の」連立方程式と、(b,c,d) を未知数とする「第二の」連立1次方程式とを、個別に {b, c｝について解いたとき、両者が一致している必要がありそう。

お礼

回答ありがとうございます。(a,b,c),(b,c,d)はそれぞれ独立に解いたら個別の解が決まります。両方の(b,c)は全く違った答えになります。しかし、(b,c)が一致しなければならないということになると、個別のマトリックスによる解とは違う縛りをかけることになるので全く別の問題が１つできると思っているのですが。