微分文章問題 （英文）

質問

問題
Water leaks from the bottom of a tank at a rate proportional to the depth h of the water in the tank. Write down an equation describing this if V is the volume of the water in the tank after time t and if the tank is a cylinder show that dh/dt is proportional to h.

答えはdh/dt　の式を出せばいいと理解しているので
dh/dt = (dh/dv) x (dv/dt)　にしたらいいと思うのですが、
シリンダーの体積は　v　= Π r^2 h , dv/dh = Π r^2　となりdh/dvは出せるのですが　dv/dt　をどう出せばいいのかわかりません。
t　を入れた　v＝　の式が考えつきません。

教えて頂けますか？

回答No.2

statecollege · ベストアンサー

V = Πr^2h (*)
題意より
dV/dt = -ah 　　　 aは比例定数。
(*)の両辺をtで微分すると
dV/dt = Πr^2dh/dt
よって、
dh/dt =　dV/dt /(Πr^2) = -ah/(Πr^2) = - (a/Πr^2)h
と、dh/dtはｈに比例的となる。

お礼

＞　dV/dt = -ah 　　　 aは比例定数。

問題文proportionalの意味を私はきちんと理解していませんでした。

有り難うございました。

回答No.1

noname#223065

シリンダーということは、底面積をS（＝Π r^2）とすれば、V＝Shですね。ですからhとVは比例しており、dh/dtもdV/dtに比例し、Sdh/dt＝dV/dtとなりますから、

　dh/dt = (dh/dV) x (dV/dt)
∴dh/dt = (dh/dV) x Sdh/dt
∴1 = (dh/dV) x S
∴1 = 1/(dV/dh) x S
∴1 = 1/S x S
∴1 = 1

と無意味な結果しか得られません。

　設問の最後、"show that dh/dt is proportional to h"は設問が求める答なのでしょうか？　設問が求めているのが、"Write down an equation describing this"（これを表す関係式を書け）だけだとすると、最後は、"a cylinder shown that dh/dt is proportional to h"（dh/dtがh比例を示すシリンダー）などではないでしょうか（dh/dtがhに比例するという条件は与えられた条件から求められるものではないと思われますので）。

お礼

一緒に考えて下さり有り難うございます、書いて下さった事とても勉強になります。

＞設問の最後、"show that dh/dt is proportional to h"は設問が求める答なのでしょうか？
はい、問題を最初から最後までこちらにタイプしました。

すみません、問題とは関係ないのですがお名前（ユーザーname）が変わられたので心配しています。
レベルの低い私にもわかりやすく的確な解答で何度もこちらで助けて頂きました、とても感謝しています。