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生産関数から供給曲線を求める問題
- 生産関数から供給曲線を求める問題について説明します。
- ヘクタール当たりの米収量と肥料投入との関係を表す式が与えられ、米の供給曲線を求める問題です。
- 問題の解法として、まず費用関数を求める必要がありますが、式の変形に困っています。
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>ただ、費用関数はC = f(y)の形だと思うのですが、この形に式を変形できません。 変形ができれば、MC = Pyの関数が供給曲線を表すのだと思うのですが…。 変形できますよ、yはnの2次関数だから。ただし、ストレートに変形しようとするより少し工夫したほうが簡単になります。 生産関数 y = 2100 + 25n - 0.1n^2 (*) を 0.1n^2 - 25n + (y - 2100) = 0 と変形し、このnについての2次方程式を解くと n = [25 ±√(625 - 0.4(y-2100))]/0.2 よって、この式を、±の-のほうをとって(なぜ?)書き換えると 25 - 0.2n = √(1465-0.4y) (**) となる。 いま、利潤をΠと書くと Π = Py・y - Pn・n となるが、Πをyについて最大化するため、両辺をyで微分し、0とおくと 0 = dΠ/dy = Py - Pndn/dy (***) を得る(合成関数の微分を用いていることに注意)。ところが、生産関数(*)の両辺をyで微分すると 1 = 25dn/dy - 0.2ndn/dy = (25 - 0.2n)dn/dy よって dn/dy = 1/(25 - 0.2n) = 1/√(1465 - 0.4y) (最後の等号は(**)によることに注意。)これを(***)の右辺のdn/dyへ代入すると Py = Pn/√(1465 - 0.4y) を得る。これが逆供給関数である。よって、これをyについて解くと、供給関数 y = 2.5(1465 - Pn^2/Py^2) を得る。 計算間違いがあるかもしれないので、確かめられたい。
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- statecollege
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>n = [25 ±√(625 - 0.4(y-2100))]/0.2 (*) の±の-のほうだけをとって書き換える理由というのは、あとの生産関数を微分すると同じ(25-0.2n)が出てくるから、ということでしょうか? 形式的に考えないで、経済的意味を考えてください。生産関数 y = 2100 +25n - 0.1n^2 (**) の右辺は2次関数、nを横軸、yを縦軸にとると、(**)で表わされる曲線は放物線で、0< n ≦50まではyは上昇し、n=50で、y=3100の最大値をとり、そのあとは下降する。つまり、n = 50を超えると、肥料の限界生産性は負に転じる。限界生産性が負の領域で肥料を投入するのは経済的に意味がない。別の視点から見るために、2100 < y ≦ 3100に対しては、同一の米収量yを生産する肥料投入量nには2つの値があることに注意しよう。同じ米の収量をえるために、小さい肥料投入量を必要とする技術と大きな投入量を必要とする技術があるのだ。肥料の価格Pnは同一なのだから、大きい投入量を必要とする技術を用いることは非効率的であることはあきらかである。上の式(*)において、±の+のほうは、nとyとが逆方向に動く、限界生産性が負の領域に対応している、したがって利潤を最大化する生産者は実際には決して用いない領域(技術)を示している。
お礼
なるほど! ご教授いただいたように図を描いて考えたら理解できました。 助かりました、ありがとうございました。
お礼
補足にも応えていただき、ありがとうございました。
補足
ありがとうございます! 自分で計算しても同じようになりました。 n = [25 ±√(625 - 0.4(y-2100))]/0.2 の±の-のほうだけをとって書き換える理由というのは、あとの生産関数を微分すると同じ(25-0.2n)が出てくるから、ということでしょうか? 繰り返しですみませんが、よろしくお願いします。