鉛直投げ上げと重力

質問

高校で未習の物理が大学では必修になっていて調べたりしてはみたのですが、さっぱりわからず方針も立たず困っています。

重力が一様であれば高さｈまで達する初速度で物体を鉛直に投げ上げたときに、実際のところ物体はｈ/{1-(h/R)}までしかあがらないことを示したいのですがどのように考えていけばいいのでしょうか・・・

よろしくお願いします。

回答No.3

Teleskope · ベストアンサー

失礼、見直してみたらマクローリン展開近似は使ってませんでした。
お詫びに；

1.
　高校物理で教わるのは、
　　エネルギE = 力F×距離r
というエネルギの定義です。
この機会に
これを積分した形
　　E = ∫Fdr
で覚えましょう。

重力の式
　　F(r) = GmM/r^2
をやると簡単に
　　E(r) = －GmM/r
位置エネルギの式になります。

２.
r=R と r=R+H での差は、
　　E = E(R)－E(R+H)
　　= -GmM/R + GmM/(R+H)
　　= -(GmM/R^2)・H/(1+H/R)　　…(1)

３．
　Hが非常に小さい場合が一様重力場です、すなわち H/R << 1 として
　　E = -(GmM/R^2)・H
です。
一様近似で ｈ の場合の E は、
　　E = -(GmM/R^2)・h
ですから、このエネルギを(1)式に入れると、
　　h = H/(1+H/R)
となって
　　H = h/(1-h/R)
ですね。
式の途中を大幅に省略してるので自分で間を埋めてください。

（もしポテンシャルが嫌いで運動方程式の微方でやりたい場合は、加速度=重力加速度 と置いて
　　d2r/dt2 = -gR^2/r^2
です。変数分離できるようにd2r/dt2=dv/dt=dv/dr・dr/dt=dv/dr・v …以下略）

お礼

ご丁寧にとてもわかりやすく、細かく説明してくださりありがとうございました。しかもわざわざ訂正まで・・・。目からうろこ状態です。途中もばっちり埋められました。
おかげで理解することができ、本当にありがとうございました。

回答No.2

Teleskope

質量mが一様重力加速度gの場で高さhにある位置エネルギは
　　mgh

　質量mと地球との重力位置エネルギは、互いの中心から測った距離 r で表すと
　　E(r) = －mGM/r　　Gは万有引力定数

前者のエネルギが後者の場ではどうなるか、という事です。普通、地表r=Rでのgは
　　g=GM/R^2

あと、h<<R の場合、
　　1/(R+h) = R(1+h/R)^-1 ≒ R(1-h/R)
の近似を使ってるようですね。

回答No.1

yaksa

Rは地球の半径ですか？
下にほぼ答えを書いてしまったので、その前にヒントだけを。
「重力が一様であれば高さｈまで達する初速度で物体を鉛直に投げ上げたとき」というのは、重力加速度が地表からの高さによらないという意味でしょう。
けれども、本当は、高いところにある物体は、地球の中心から遠い所にあるわけですので、そこに働く地球の万有引力は、地表に物がある場合よりも小さくなるはずです。そこらへんを考えればいいと思います。

ちなみに、
「実際のところ物体はｈ/{1-(h/R)}までしかあがらない」と書いてお]られますが、
h < h/{1-(h/R)}
ですから、本来よりも高くあがるはずですね。

物体の質量をmとすると、
「重力が一様であれば高さｈまで達する初速度」をvとすると、エネルギー保存式より、
mgh=1/2*m*v^2 --- (1)
です。ただしgは重力加速度。
地球の質量をM、実際に物体が上がる(地表からの)高さをh'とすると、エネルギー保存の式より、
G*(M*m)/(R+h')=G*(M*m)/R+1/2*m*v^2 --- (2)
です。Gは万有引力定数。
それから、地表での重力加速度の式は、
G*(M*m)/(R^2)=mg --- (3)
です。
実際に解いてないので不安ですが、多分(1)～(3)を連立させて、h'について解けばいいのではないでしょうか。

お礼

地球中心から離れるに従って重力は減っていくわけだから、実際は予測よりも高く上がりますね・・・（汗
おっしゃるとおりです。丁寧な解説とご指摘ありがとうございました。