組み合わせ

質問

1から20までの整数の中から異なる3個の数を選ぶとき、2個が奇数で1個が偶数となる選び方について。

偶数の選び方は10P1通り、奇数の選び方は10P2通り。ただし、3!=6通りの重複がある（例えば、{10,9,7}={10,7,9}={9,10,7}={9,7,10}={7,10,9}={7,9,10}）から、10P1×10P2÷3!通り。

この考えはどこが間違っているのでしょうか？

回答No.4

staratras · ベストアンサー

＞3!=6通りの重複がある（例えば、{10,9,7}={10,7,9}={9,10,7}={9,7,10}={7,10,9}={7,9,10}）

これは3つの異なるものを並べる場合に、「並べ方の総数」の6通りに対して、その3個を選んだ「組み合わせ」は1通りであるということです。

一方、10P1×10P2というのは、偶数の並べ方と奇数の並べ方をかけただけなので、例えば偶数10を選んだ1通りに対して残りの2個の奇数に7と9を選んだとすれば、{7,9}と{9,7}があるというだけのことで、「並べ方の総数」を表わしてはいません。実際には10を置く位置により、
10と{7,9}の並べ方には{10,7,9}、{7,10,9}、{7,9,10}の3通り、
10と{9,7}の並べ方には{10,9,7}、{9,10,7}、{9,7,10}の3通り、あります。

したがってご質問の考え方ならば正しくは、10P1×10P2×3÷3!とする必要があります。

ご質問の問題は「数字の並び」ではなく、「組み合わせの数」を問うていますので、偶数の選び方が10C1通り、奇数の選び方が10C2通りあり、この両者には重複はないので求める組み合わせの総数はその積である10C1×10C2である、と単純に考える方がわかり易いでしょう。

お礼

回答ありがとうございました。
偶数と奇数の並び方をすっかり忘れてました。

回答No.3

noname#222520

ANo.2の補足です。

例えば、「1から20までの整数の中から異なる4個の数を選ぶとき、奇数と偶数が2個ずつとなる選び方について」というような場合にも応用できる式（表現）とするならば、答えは次の通りです。
10C1×10C2通り

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.2

noname#222520

奇数を2個選ぶことと偶数を1個選ぶことの間に重複はないので、奇数を2個選ぶことの重複だけを考えます。（偶数は1個だけなので、選び方に重複はありません。）
この重複は、{1,3}と{3,1}、{1,5}と{5,1}のように2!=2通り
よって、答えは10P1×10P2÷2通りまたは10P1×10C2通り
（10C2は10P2の重複を考慮したものです。）

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.1

tmppassenger

「偶数の選び方は10P1通り」というのは、偶数を取り出して、（順番が違うのものは全て違うと数えた時の）偶数の並べ方
「奇数の選び方は10P2通り」というのは、奇数を取り出して、（順番が違うのものは全て違うと数えた時の）奇数の並べ方

で、その積は、結局例えば「偶数1つを先に、続いて奇数2つを並べるときの、順番を考慮した並べ方」になってしまいますね。実際には、『選んだ偶数1つを3つの中のどこにおくか』、ということを考えなければならないので、10P1 * 10P2 * 3通りの（重複を無視した）並べ方があるが、このうち3!=6通りの重複があると考えなければならない。

分りにくければ、「1から3までの整数の中から異なる3個の数を選ぶとき、2個が奇数で1個が偶数となる選び方」を考えるとよい。あなたの考え方だと、重複を無視した並べ方は、1P1 * 2P2 = 2通りしかないけど、実際は明らかに6通りありますね。

お礼

確かに、偶数と奇数の並び順を考慮してませんでした。
回答ありがとうございました。