[数学] [逆行列]

質問

逆行列についての質問です．
次の式の証明をお願いします．
Iは単位行列，^-1は逆行列です．

(I+AB)^-1=I-A(I+BA)^-1B

回答No.2

masudaya

全てが逆行列をもつ前提で話を進めます.

両辺に右から(I+AB)をかけると，左辺は明らかにI
右辺ですが
（I-A(I+BA)^(-1)B)*(I+AB)=I-A(I+BA)^(-1)B+(I-A(I+BA)^(-1)B)*AB
=I-A(I+BA)^(-1)B+AB-A(I+BA)^(-1)BAB
=I-A(I-(I+BA)^(-1)-(I+BA)^(-1)BA)B
=I-A(I-(I+BA)^(-1)*(I+BA))B
=I-A(I-I)B＝I

となるので証明できることになると思います.

お礼

ありがとうございます．
右辺の展開の3行目で
-A(...)B
でくくったところが()の中の正負が逆転しています．
結果は0になるので同じですが，気になったのであえて訂正させていただきました．

回答ありがとうございました．

回答No.1

tmpname

式中の逆行列が存在することは仮定しておく。

ヒント
素直に [(I+AB) [I-A(I+BA)^{-1}B]を計算し、これがIになることを示す。
一旦分配法則をつかってバラす（行列積は一般に可換でないことに注意）。
その後、『ABA』みたいな積が出てきたら、それをA( {I+BA} -I )と変形して、さらにバラしてみる。