算数の問題の解き方を教えて下さい

質問

下記展開図で表される円すいの底面の半径を求める問題です。円周率は３．１４とします。
答え：８ｃｍ
解説：母線×２×3.14×２４０/３６０＝半径×２×３．１４３６０／３６０
　　　母線×２４０＝半径×３６０
　　　(6)　　　　　　(4)

３４＝(3)＋(6)＋(8)より(4)＝８

※上の円の直径を(8)、下の円の半径を(6)、下の円の中心から下の点線までを(3)としています。
解説の意味がわからないので教えて下さい

回答No.1

matsu_kiyo · ベストアンサー

円錐柱の底面の外周と、円錐柱のとんがりを形成する扇型の周囲の長さが同じである、というのが一番目の式の意味。
２番目の式は、イコールで結ばれる場合、簡略化できるので、同じ項目のものを相殺すると、母線と２４０、半径と３６０が残る、という意味。
かっこの中の数字は、比率で表しているので、母線側が（３）、半径が（２）でも間違いありません。が、以後の計算で必要なのであえてその２倍にしています。
３４センチには、母線（下の円錐を形作る円形の一部）の半径と底面の直径、そして、切り取られているような２等辺三角形の短辺の長さが含まれています。これは二つに折り返すと、母線を一辺の長さとする正三角形ができますのでその半分がここで言う（３）になります。そして、（８）は、すでに設定した、底辺の半径（４）の倍。よって、３４＝１７×２が割り出されるので、２×（８）が底面の直径。「半径を出せ」なので、１６÷２で８cmが正解です。

補足

比率の(8)ですが、半径(4)の2倍ということですが、何故(4)になるのでしょうか？

回答No.3

noname#227653

まず、図形の真ん中に縦線を一本引いて下さい。
すると、この線は、上の円の直径（つまり半径ふたつ分）と、下の扇形の半径ひとつ分と、下の扇形の中心から下の点線までの線になりますね。これをそれぞれA、B、Cと名付けておきましょう。Aふたつ、Bひとつ、Cひとつの合計が34cmということになります。

ところで、中学受験のための勉強をしている小学生なら誰でも「円錐の展開図で、扇形の中心角は360度×半径/母線（母線分の半径）で出せる」ということは知っているはずです。
この問題では、中心角は240度です。これが360度×半径/母線なのですから、半径/母線は2/3になります。だから半径と母線の比は(2):(3)になりますね。
つまりA:Bは(2):(3)ということになります。

次に、図形の下の方の三角形を見て下さい。角度が30度、60度、90度の三角形です。ふたつありますが、どちらでもかまいません。
この三角形の、一番長い辺と、一番短い辺を見て下さい。一番長い線は扇形の半径ですね。そして一番短い線は、さっき引いた線の下の端ですね。扇形の中心と下の点線を結ぶ線です。
そしてこれも受験生なら誰でも知っていなければならないことですが、この一番長い線と一番短い線の比は(2):(1)になります。
なぜかというと、この三角形は正三角形をふたつに分けた図形だからです。
正三角形をひとつ書き、それを二つに割るように線を引いてみて下さい。すると30度、60度、90度の三角形が２つできますね。元の正三角形の辺の長さはみな同じで、割ったあとの三角形の一番短い辺の長さは元の正三角形の辺の長さの半分になることがわかるでしょう。だから長さの比は(2):(1)なのです。
つまりB:Cは(2):(1)ということになります。

A:BとB:Cが出たのですから、A:B:Cは連比でそろえられますね。(4):(6):(3)になります。
Aふたつ、Bひとつ、Cひとつの合計が34cmなのですから、(4)×２＋(6)×１＋(3)×１＝(17)
が34cmということになります。ですから(1)は2cmですね。円の半径は(4)ですから８cmということになります。これで答えが出ました。

この問題のポイントは３つです。
ひとつめは「円や扇形の問題で解き方がわからないときは半径の補助線をひく」ということです。これは非常に重要です。半径の補助線を引けばほぼ100％解き方がみつかります。
ふたつめは「円錐の展開図で、扇形の中心角は360度×半径/母線（母線分の半径）で出せる」です。
みっつめは「30度、60度、90度の直角三角形では、一番長い線と一番短い線の比は(2):(1)になる」です。
この３つを上手に使って解いていきましょう。

回答No.2

92128bwsd

どの学年で何を勉強するのか良くわかっていませんので、この解き方が正しいのか自身が無いのですが。

点線の長方形の高さ34cmは、
半径（上の円の半径）x 2 + 母線（下の部分円の半径）+ 残り
残りは、頂角120°の二等辺三角形の高さと言う事になります。
この２等辺三角形の等しい２辺（斜めの線）の長さは、母線と同じです。そうすると、三角形の高さは母線の1/2になります。これは、二等辺三角形の頂角が120°なので、残りの２角が30°ずつ（全部足して180°）なので、三角関数的には、残り= 母線 Sin 30° = 1/2 母線　なのですが、”算数”と呼んでいるレベルでは習わないですよね？ それとも、仰角30°の場合だけ習ったりしますかね？

ここまでわかると、
半径 x 2 + 母線 + 1/2* 母線 = 半径 x 2 + 3/2 * 母線 = 34cm が出てきます。
次に、半径と母線の関係ですが、上の円の円周と、下の部分円の外周の長さは同じになります。部分円の外周は、大きな円を考えてその円周に対して120°分（つまり1/3) 足りない、ぎゃくのいいかただと、部分円の外周は大きな円周の2/3。

そうすると、2 x 母線 ｘ 3.14 x 2/3 = 2 x 半径 x 3.14 ⇒ 母線 x 2/3 = 半径 ⇒ 母線 = 3/2 x 半径
（つまり円周率は特に必要なかった。多分考える過程で小学校レベルでは使うのでしょうね）
半径と母線の関係が出たので、最初の式の母線のところに代入して、やれば半径が 8cmと出てきます。
ただ、この代入と言うのも何年生くらいで習うものなのですかね？

解説にある（）付きの数字の意味がわかりません。算数を習ったのが遠い昔なのとひょっとしたらこの（）付きの解き方は問題集のどこかに解説ないですかね？