非対称三相交流電源のΔ→Y変換

質問

非対称Δ電源の3つの端子をa,b,cとし、各電源・インピーダンスを(Zab, Vab), (Zbc, Vbc), (Zca,Vca)とする。同様に非対称Y形電源の3つの端子もa,b,cとし、各電源・インピーダンスを(Za,Va),(Zb,Vb),(Zc,Vc)とする。

最初に電源を短絡しても等価性が成り立たなければならないので、
非対称Δ電源の3つの端子間a-b, b-c,c-aをそれぞれ短絡し、非対称Y形電源の3つの端子間a-b, b-c, c-a もそれぞれ短絡する。

ここで2つの回路のインピーダンスのY→Δ等価変換をすると、
Za={(Zab)*(Zca)}/{(Zab)+(Zbc)+(Zca)},
Zb={(Zbc)*(Zab)}/{(Zab)+(Zbc)+(Zca)}
Zc={(Zca)*(Zbc)}/{(Zab)+(Zbc)+(Zca)}
となる。

次に、各端子間の短絡電流を比較する。
Iab=(Vab)/(Zab) - {(Vbc)+(Vca)}/{(Zbc)+(Zca)}
={(Zbc)*(Vab)+(Zca)*(Vab)-(Zab)*(Vbc)-(Zab)*(Vca)}/{(Zab)*(Zca)+(Zbc)*(Zab)}=(Va-Vb)/(Za+Zb)
={(Zab+Zbc+Zca)*(Va-Vb)}/{(Zab)*(Zca)+(Zbc)*(Zab)}

Ibc={(Zca)*(Vbc)+(Zab)*(Vbc)-(Zbc)*(Vca)-(Zbc)*(Vab)}/{(Zbc)*(Zab)+(Zca)*(Zbc)}={(Zbc+Zca+Zab)*(Vb-Vc)}/{(Zbc)*(Zab)+(Zca)*(Zbc)}

Ica={(Zab)*(Vca)+(Zbc)*(Vca)-(Zca)*(Vab)-(Zca)*(Vbc)}/{(Zca)*(Zbc)+(Zab)*(Zca)}={(Zca+Zab+Zbc)*(Vc-Va)}/{(Zca)*(Zbc)+(Zab)*(Zca)}
となる。

これら3式よりVa,Vb,Vcを求めると、
Va={(Zca)*(Vab)-(Zab)*(Vca)}/(Zab+Zbc+Zca)
Vb={(Zab)*(Vbc)-(Zbc)*(Vab)}/(Zbc+Zca+Zab)
Vc={(Zbc)*(Vca)-(Zca)*(Vbc)}/(Zca+Zab+Zbc)
となる。

質問ですが、短絡電流Iab, Ibc,Icaの3式からどのようにしたらVa,Vb,Vcが上記の形で導けるのでしょうか？もし式が複雑になりそうでしたら、手順だけでも教えていただければ助かります。

回答No.4

178-tall · ベストアンサー

>…『右辺の出現論理積』について詳しく教えてもらえたらと思います。

適切なことばを思いつけませんでした。

たとえば Va-Vb と Vb-Vc なら、
　左辺の Va-Vb と Vb-Vc の双方に出現する項 (出現・論理積)は、
　　Vb

　右辺の {Zbc*Vab+Zca*Vab-Zab*Vbc-Zab*Vca} と {Zca*Vbc+Zab*Vbc-Zbc*Vca-Zbc*Vab} 出現・論理積は、
　　Zbc*Vab-Zab*Vbc

ということ。

つまり、
>右辺の各項にbが含まれていることだけ辛うじて分かります。
… がすべてなのです。

お礼

3式の内2式を選び、それらの左辺に共通して現れる項と、右辺に共通して現れる項を、係数も含めて取り出せば良かった訳ですね。
このような便利な方法がある事を全く知りませんでした。

この度も丁寧に説明していただき本当に助かりました。

回答No.6

178-tall

まだまだ … ？

　>「左辺」の項のいずれか、と、「右辺」の項のいずれに b が含まれている

ということ … かナ。

回答No.5

178-tall

蛇足。

も少し正確にいうと、

　>「両辺」の各項に b が含まれている

ということ … かナ。

回答No.3

178-tall

一部、訂正。

… 解こうとすると、一意解ではない模様 … (左辺の係数行列が階数 = 2 なので) 。

回答No.2

178-tall

>質問ですが、短絡電流Iab, Ibc,Icaの3式からどのようにしたらVa,Vb,Vcが上記の形で導けるのでしょうか？

Iab 算式 → Va-Vb = (Zbc*Vab+Zca*Vab-Zab*Vbc-Zab*Vca) / (Zab+Zbc+Zca)
Ibc 算式 → Vb-Vc = (Zca*Vbc+Zab*Vbc-Zbc*Vca-Zbc*Vab) / (Zbc+Zca+Zab)
Ica 算式 → Vc-Va = (Zab*Vca+Zbc*Vca-Zca*Vab-Zca*Vbc) / (Zbc+Zca+Zab)

として解こうとすると、一意解ではない模様 … (右辺の係数行列が階数 = 2 なので) 。

単純に右辺各項の出現・論理積をとれば一解を得る。
　Va-Vb ～ {Zbc*Vab+Zca*Vab-Zab*Vbc-Zab*Vca}
　　　　Vb ～ Zbc*Vab　&　Zab*Vbc (積の各項に添字 b)
　Vb-Vc ～ {Zca*Vbc+Zab*Vbc-Zbc*Vca-Zbc*Vab
　　　　Vc ～ Zbc*Vca　&　Zca*Vbc (積の各項に添字 c)
　Vc-Va ～ {Zab*Vca+Zbc*Vca-Zca*Vab-Zca*Vbc}
　　　　Va ～ Zca*Vab　&　Zab*Vca (積の各項に添字 a)
　Va-Vb ～ {Zbc*Vab+Zca*Vab-Zab*Vbc-Zab*Vca}

　　　　↓
>これら3式よりVa,Vb,Vcを求めると、
>Va={(Zca*Vab)-(Zab*Vca)}/(Zab+Zbc+Zca)
>Vb={(Zab*Vbc)-(Zbc*Vab)}/(Zbc+Zca+Zab)
>Vc={(Zbc*Vca)-(Zca*Vbc)}/(Zca+Zab+Zbc)

お礼

回答していただきありがとうございます。
初めに[Va-Vb; Vb-Vc; Vc-Va]=(1/(Za+Zbc+Zca))*[A][Vab;Vbc;Vca]の係数行列[A]を行基本変形すると階数が2となる事は分かりました。

ここからの流れについて、
『Va-Vb ～ {Zbc*Vab+Zca*Vab-Zab*Vbc-Zab*Vca}, Vb ～ Zbc*Vab　&　Zab*Vbc (積の各項に添字 b)』の部分について質問があります。

ここで『右辺の出現論理積をとる』とありましたので、プログラミングのA && B, (AかつBの時(真))となるのようなものを思い浮かべましたが、ここでは何と何の論理積がとられているのかがちょっと良く分かりませんでした。
右辺の各項にbが含まれていることだけ辛うじて分かります。
すみませんが、ここでの『右辺の出現論理積』について詳しく教えてもらえたらと思います。

回答No.1

kiyos06

0)以下全てベクトル
1)ab間
1.1)短絡電流Iab
1.2)覗き込みインピーダンスZa +Zb
1.3)開放電圧Vabo =Iab (Za +Zb)
2.1)Vabo =Va -Vb
2.2)Vbco =Vb -Vc
2.3)Vcao =Vc -Va
3)Va +Vb +Vc =0と取る。
3.1)Va =(Vabo -Vcao)/3

参考URL：

http://qanda.rakuten.ne.jp/profile/answer/history/u946114.html