数学の質問です。

質問

A=｛n-1/n ｜n=1,2,3, ...｝ に対し
infA＝0 とsupA＝1とあるのですが、うやって求めたのでしょうか？
わかる方、解説お願いします。

回答No.1

statecollege · ベストアンサー

その前に、n-1/nではなく、(n-1)/nですよね。つまり、分子はn-1で、分母はnですよね！n-1/nと書くと、nから1/nを差し引く意味になってしまう。

いま、a(n)= (n-1)/n = 1 - 1/nとおくと、数列{a(n)}は, 0,1/2, 2/3,...と単調増加列である。したがって、すべてのn≧1にたいしてa(1) ≦ a(n)が成り立つから、 inf A = a(1) となる。一方、sup A = aとおくと、すべてのn≧1にたいしてa(n)= 1 - 1/n ≦ 1 であるから、
　　　　　　a(n) ≦ a ≦　１
となる。ここで、n→∞とすると、a(n) = 1 - 1/n → 1であるから、
　　　　　　1 ≦ a ≦ 1
よって、a = 1、すなわち、sup A = 1を得る。

お礼

とてもよくわかりました。
追加で回答までしていただきありがとうございます。

回答No.2

statecollege

No1です。回答はこ難しくなってしまいましたが、要するに
　　a(n) = (n-1)/n = 1 - 1/n
となることに気づけば、inf A = a(1) = 0であり、a(n)が単調増加数列でかつlim(n→∞）a(n) = 1より、sup A = 1であることは一目瞭然だということです。

お礼

回答ありがとうございます。