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鳩ノ巣原理を証明する方法
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要は、鳩ノ巣原理というのは、 「自然数m, nに対し、Aをm元集合、Bをn元集合とする。m>nのとき、AからBへの単射は存在しない」 ということですが、公理的集合論とかその辺を議論する時は、きちんと証明しないといけない。 で、証明ですが、nに対する数学的帰納法で示します。 A n=1の時は明らか B n=n0の時成り立つとして、n=n0+1の時成り立つ事を示す。 次の方針で示します。 『今、m' > n0+1なるある自然数m'があって、あるm'元集合A'からn0 + 1元集合B'への単射が存在すると仮定する。 この時、あるm'-1元集合からn0元集合への単射が存在することになり、数学的帰納法の仮定と矛盾する』 これを示すのがカギです。要は、A'とB' から1元ずつ取り除いてうまく単射を作ります。 （wikipediaに書いてある無限集合の場合については、そもそも「濃度」の定義から明らかです。ただし、その「濃度」の定義が凄く面倒くさいのでここでは書きません） 一度考えてみて、分からなければ質問してください。 （例えば次に載ってます 斎藤正彦「数学の基礎」（東大出版）p235）
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- tmpname
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一応きちんとしておく為に書いておくと、（自然数を1 startとして）集合Dがn元集合というのは、Dと集合{1, 2, 3, … , n}との間に一対一対応（全単射）があることとします。
お礼
回答ありがとうございます。wikiも見たのですが、証明が書いてないように思えたので質問しました。
証明されてるのを 更に証明するの？ http://okwave.jp/qa/q9072037.html
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お礼
ちゃんと証明があるのですね。ありがとうございます。