不確定性原理の証明

質問

学校で配られたプリント中で

I(λ)=∫|(λA~-iB~)φ|^2dx
=∫(λA~+iB~)φ~（λA+iB)φdx
=λ^2∫φ~A^2φ~dx - iλ∫φ~(AB-BA)φ~dx + ∫φ~B^2φ~dx
≧0

（※A,Bは演算子、~は共役を表す）

を用いて不確定原理の証明をしているのですが、２行目から３行目の変形が飛躍している気がして腑に落ちません。
それともAやBに何か制約があるのでしょうか？あるとしたらそれはどのような仮定になるでしょうか？

稚拙な文章で申し訳ありません。よろしくお願いします。

回答No.2

tomochin630 · ベストアンサー

No.1です。

＞でも、A*=Aでも、(Aφ)*=A*φ*=Aφ*となってφ*Aとはならない気がします

説明不足ですみません。
No.1で「共役」と書いたのは、「複素共役」ではなくて、
「エルミート共役」のつもりで書きました。

エルミート共役を『†』と表すと、

　<Aφ,ψ>＝<φ,A†ψ>

がエルミート共役の定義です。
ただし<,>は内積を表し、<f,g>=∫f*gdx の意味です。（『*』は複素共役）

従ってエルミート演算子であれば、A=A†なので、
∫(Aφ)*ψdx = ∫φ*Aψdx となり、「すり抜け」ができます。

お礼

すっきりしました！

回答No.1

tomochin630

＞AやBに何か制約があるのでしょうか
A,Bはエルミート演算子（共役が自分自身）と仮定しているのでしょうね。

補足

でも、A*=Aでも、(Aφ)*=A*φ*=Aφ*となってφ*Aとはならない気がします…A（演算子）が関数を越えて中に入っていくのは御法度ではないのでしょうか？