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位相幾何学のことでの問題

2001/06/15 11:37

oodaikoの回答

oodaiko
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2001/06/16 00:41 回答No.3

ametsuchiさん＜論理の流れをみると球面がコンパクト集合→平面に球面と同相な集合Ｂがあるとする →Ｂもコンパクト集合→そこから矛盾を導くとおっしゃりたいようですが、この論理が正しいならば、球面でなくてもコンパクトな集合例えば（境界を含む）円盤は平面上にそれと同相な図形を持たないことになってしまいます。つまりこの推論は間違いです。証明のためには球面に特有の性質を使う必要があります。また途中にも定義の誤解や不明瞭な部分などが多く、失礼ですが（特に最後の部分などは）全く論証になっていません。推論自体が間違いなので、細かく見る意味はないのですが、ametsuchiさんの誤解されている部分や不明瞭な部分は、位相数学初心者の方も同じように間違える可能性の高い部分でもあるので、申し訳ないがametsuchiさんの回答を厳しくチェックさせていただきます。（１）・平面とは、２次元Euclid空間であること：（２）・球面は、２次元多様体であること：ここまではOK （３）・球面が開且つ閉集合であること：球面を位相空間としての３次元Euclid空間の部分集合とみなせば閉集合です。（補集合が開集合だから）このように、ある集合が開集合か閉集合かということをいうのには、どの位相空間の中で話をしているのか、ということを明確にしておく必要があります。また、ある空間に定義される位相は一種類とは限らないので、どの位相についての話かということも、明確にしておく必要があります。ある空間に位相を定めるというのは、その空間の開集合（族）を定義するということです。通常、ユークリッド空間の部分集合では距離が定義できるので、εを任意の正の数として、その部分集合の各点から距離ε未満（以下ではありません）の点の集合をその部分集合の開集合と定義します。また開集合の公理より全体集合は開集合と定義します。このように距離によって位相を定めた位相空間のことを距離空間と呼びます。そこで球面それ自身を１つの位相空間（球面上の距離による距離空間）として考えた時にはじめて「球面は開且つ閉集合である」といえます。従って正確には・球面は、それ自身を位相空間とみなした時、開且つ閉集合であること：と言わなければいけません。（４）・球面がコンパクトであること：これも同様。確かに球面はそれ自身の位相でも、またこの場合は３次元Euclid空間の部分集合とみなしてもコンパクトになりますが（開集合だから）、やはりどこの位相空間で考えているのかを明確にする必要があります。（５）・球面上の全ての点を１：１且つ連続でEuclid空間に写像するとコンパクトであること。＞Euclid空間に写像するといっても２次元Euclid空間に写像するのか３次元Euclid空間かで話が違います。次に書いてあることから考えると２次元Euclid空間に写像することを考えているのでしょうが。また例によって写像したものがどこの位相でコンパクトなのかを言う必要があります。もっともこの場合は２次元Euclid空間の部分空間とみなした場合でもそれ自身を１つの位相空間とみなした場合でも’コンパクトである’と言う結論は正しいですが。（６）・背理法による証明： ametsuchiさんの書かれている文を読むと平面上のある部分集合Ｂと球面が同相ならば、球面からＢへの１：１且つ連続な写像が存在し、かつＢはコンパクトである。しかしそのＢは（平面上の）開集合ではない。（W１）しかし球面は開集合であったからその連続写像による像Ｂは開集合でなければならないはずである。しかしＢは開集合でないから矛盾する。従ってそのような写像は存在しない。すなわち球面とＢは位相同形ではない。とおっしゃりたいようですが、これは全くの誤りです。まず第一に連続写像の定義を誤解されているようです。（W１）位相空間Ｘから位相空間Ｙへの写像fが連続であるとは (A)Ｙの任意の開集合Ｕのfによる逆像f^{-1}(Ｕ)がＸの開集合であること。であって (B)Ｘの任意の開集合Ｕのfによる像f(Ｕ)がＹの開集合であること。ではありません。またこの２つの条件は同値でもないし、どちらかの条件が強いわけでもありません。（B)の条件を満たす写像を開写像と言います。連続写像は開写像とは限らず、開写像も連続写像とは限りません。あるいはametsuchiさんは正しく理解されているのかも知れませんが、少なくとも下の回答ではそういうふうに読めます。失礼しました。私の回答は明日アップします。