位相幾何学のことでの問題

質問

平面上の図形で球面と同相なものはないっていう問題です。
イメージは掴んではきているのですがいまいち、わかりません。
だれかお願いします。

回答No.2

ametsuchi

No.1の追加ですが、自信がないので専門家の方いらしたらフォロー願います。

・ 平面とは、２次元Euclid空間であること：

これは自明な前提としていいでしょう。

・ 球面は、２次元多様体であること：

これも自明の前提としていいでしょう。球面（回転楕円体でも構わない）は、局所的に「２次元Euclid空間」と同相であり、「２次元多様体」である。平面から球面への写像ルールは与えられているとする。球面上の２次元空間を「U-V空間」と称する。それは平面上の「X-Y空間」の点と１：１対応である。

・ 球面が開且つ閉集合であること：

球面上「U-V空間」の任意の１点の近傍は全て球面内の点で構成されているので、球面は「U-V（2次元）空間」で開集合であると言える。且つ閉包も球面内であるから、球面の空間は「開且つ閉」なのである。
因みに、球面のみならず「トーラス」や、「クラインの壷」もまた「開且つ閉」である。

・ 球面がコンパクトであること：

任意の有限個のε球（というより円）で球面を覆い尽くすことができるから「全有界」、且つ閉集合であるから、「コンパクト」。

・球面上の全ての点を１：１且つ連続でEuclid空間に写像するとコンパクトであること。

球面上のεネットを平面上に写像し、ε’ネットを得る。閉集合だからコンパクト

・ 背理法による証明：

今、上の写像で球面上の全点のImageがコンパクトであることが分かったから、y方向に最大値を持つImageに属する点を一つ選ぶ。この座標をPm（xm, ymax）とする。任意のε’に対して、ε’近傍内の点(xm, ymax+ε’)はImageに属さない。だからImageは開集合ではない。元の球面上の空間は開集合であったから、「位相同形」の定義に従えばこれは矛盾である。