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位相幾何学のことでの問題

2001/06/15 11:37

oodaikoの回答

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oodaiko
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2001/06/17 04:16 回答No.5

さて証明ですが、きちんとやると結構大変なので概要だけ書いておきます。一応イメージが湧く程度に書いておきますが、適当な図を書きながらイメージをつかんで下さい。まずどの位相で考えるのかをはっきりさせておきます。以下では位相空間Ｘと位相空間Ｙが同相であることをＸ～Ｙを書きます。球面をＳとし、平面（２次元ユークリッド空間）をＨ、球面と同相なＨの部分集合が存在すると仮定してそれをＢとしておきます。（そこから矛盾を導き、Ｂの存在を否定することで ’平面上の図形で球面と同相なものは存在しない’という質問の命題を証明します。）ＢからＳへの同相写像（全単射な連続写像）をfとし、ＳからＢへの同相写像（fの逆写像です）をgとします。Ｓの位相はＳ上の距離で入れます。すなわち；a,b∈Ｓの距離をaとbを通る大円の弧の長さの短い方で定義し、球面上の開集合は球面上の各点から距離ε未満（ε＞０）の点とします。この開集合によりＳは位相空間になります。次に、Ｂの位相は２次元ユークリッド空間Ｈの相対位相で定義します。すなわちＨの開集合とＢの共通部分をＢの開集合とします。（Ｈの開集合はＳの場合と同じく平面上の各点から距離ε未満の点です）最初にいくつか必要な言葉を定義します。細かいことは位相数学の教科書でも見て下さい。 ●弧状連結性Ｘの任意の２点ａ，ｂ(ａ ≠ｂ)に対して、実数の閉区間[0,1]からＸへの連続写像fで、f(0)= a,f(1)= bとなるものが存在する、とき、Ｘは弧状連結であるといいます。この像f([0,1])はaとbを結ぶ弧と呼ばれます。直観的にいえば、aとbを結ぶ弧とは、Ｘ上の曲線でaとbが端点になっているようなものです。さらに弧は交点をもたないと仮定出来ます。その理由は、直観的ないい方になりますが、ある弧が交点を持つとするとループが出来るが、そのループ部分を切捨てたものも弧になるからです。弧状連結なら連結ですが逆はいえません。 ●位相不変性位相空間の性質（または量）Ｐで同相写像によって不変であるもの位相不変性（位相不変量）と呼びます。位相不変な性質は連続写像で移される性質でもあります。すなわち位相空間Ｘの部分集合Ａが位相不変性Ｐを持っているとすると、Ｘから位相空間Ｙへの連続写像ｆによるＡの像ｆ（Ａ）もＰを持っています。例えばコンパクト性、連結性、弧状連結性はいずれも位相不変性です。 ●（補助命題）Ｘ～Ｙとし、fをＸとＹの同相写像。ＡをＸの任意の部分集合とする。このときＸ\Ａ～Ｙ\f(Ａ)。つまり同相な集合から同相な部分集合を除いたものも同相である。証明は簡単なのでご自分で考えてみて下さい。同相や連続の概念の理解度を試すのに手頃な問題だと思います。さて証明の概要です。（１）まずＳはコンパクトかつ弧状連結（従って連結でもある）です。この証明はいいでしょう。（２）これらの性質は位相不変量なので、Ｂもコンパクトかつ連結かつ弧状連結です。さてＢの適当な内点iを取ります。（Ｂに内点が存在しない場合は別に考えます。）（３）Ｂのある２つの異なる境界点sとtを選ぶと、sとtを結ぶ弧であって、iを通り、かつsとt 以外の境界点を通らないようなものが存在します。（＊１）（４）さて、この弧をαとします。Ｂはαによって２つの領域に分けられます。（＊２）つまりＢ\αは連結ではありません。（５）ところで球面Ｓの点f(s)とf(t)（もちろんf(s)≠f(t)）を結ぶ任意の（交点を持たない）弧βを考えるとＳはβで分割されることはありません。すなわちＳ\βは連結です。（＊３）（６）f(α）もf(s)とf(t)を結ぶ弧なのでＳ\f(α)は連結です。（fは単射なのでf(α）は交点を持ちません）しかし先に述べたようにＳ～ＢならばＢ\α～Ｓ\f(α) でなければならないのでこれは矛盾しています。（Ｂ\α～Ｓ\f(α)ならば両方とも連結であるか、両方連結でないかのどちらかである）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[証明終] 証明のポイントは（４）（５）の部分です。つまり平面上のコンパクトな集合（有界閉集合）は、適当な閉じていない、交点もない曲線で２つに分割することが出来るが、球面ではそういうことはできないということを示しているわけです。またそれが球面に特徴的な位相的性質の１つというわけです。（もちろんそういう位相的性質を持っている曲面は球面だけとは限らない。すなわちこの性質は平面と球面の位相的区別には役立つが、球面と他の曲面の位相的区別に使えるとは限らない。）この辺りの証明はきちんとやろうとすると結構面倒なのでまた後ほど。