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微分方程式の問題です
bran111の回答
- bran111
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(1) d^2φ/dr^2+(5/r)dφ/dr+4φ/r^2=0 (*1) 変数変換 r=e^t を行う。よって t=logr, dt/dr=1/r=e^(-t) dφ/dr=(dφ/dt)(dt/dr)=e^(-t)dφ/dt=(1/r)dφ/dt=P d^2φ/dr^2=d(dφ/dr)/dr=dP/dr=(dP/dt)(dt/dr)=e^(-t)d[e^(-t)dφ/dt]/dt =e^(-t)[-e^(-t)dφ/dt+e^(-t)d^2φ/dt^2]=(1/r^2)[d^2φ/dt^2-dφ/dt dφ/dr, d^2φ/dr^2を(*1)に代入。 d^2φ/dr^2+(5/r)dφ/dr+4φ/r=(1/r^2)[d^2φ/dt^2-dφ/dt]+(5/r^2)dφ/dt+4φ/r^2=0 整理して d^2φ/dt^2+4dφ/dt+4φ=0 (*2) (2) (*2)は定数係数2階線形斉次方程式である。特性方程式 D^2+4D+4=(D+2)^2 は重根-2を持つ。 よって(*2)の一般解は φ=(a+bt)e^(-2t)=(a+blogr)/r^2, (a,bは定数) である。
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